Решите уравнения
Привет! Давай разберём эти уравнения и неравенства шаг за шагом.
- Решите уравнения:
а) \(4^{7-x} = 16\)
Поймем, что 16 это \(4^2\). Значит, у нас уравнение: \(4^{7-x} = 4^2\). Из этого следует, что \(7-x = 2\). Отсюда: \(x = 7 - 2 = 5\).
б) \((\frac{3}{4})^{-6+x} = 64\)
Здесь поймем, что 64 это \(4^3\). Проще решать, если мы используем степень с общей основой. \((\frac{3}{4})^{-6+x} = (4)^3\), но нам нужна основа \((\frac{3}{4})\). Давай попробуем лучше выразить через обратную дробь. Подумай, как другое решение будет выглядеть в точных числах.
в) \(3^{x-2} \cdot \frac{1}{9} = 3^{-2}\)
\(\frac{1}{9} = 3^{-2}\), и наше уравнение становится: \(3^{x-2} \cdot 3^{-2} = 3^{-2}\).
Из этого следует: \(3^{x-4} = 3^{-2}\). Тогда \(x-4 = -2\). Отсюда: \(x = 2\).
г) \(\frac{1}{9} \cdot (\frac{1}{3})^{-x} = \frac{1}{81}\)
Распишем: \(\frac{1}{9} = 3^{-2}\) и \(\frac{1}{81} = 3^{-4}\).
Уравнение: \(3^{-2} \cdot 3^x = 3^{-4}\), следовательно, \(-2 + x = -4\). Отсюда: \(x = -2\).
- Решите систему уравнений:
\(36^{x-9} = 6^{-2x+4}\)
Можно выразить обе стороны через степень числа 6: \(6^{2(x-9)} = 6^{-2x+4}\).
Поскольку основания одинаковые, уравнения степеней: \(2(x-9) = -2x + 4\).
Раскроем скобки: \(2x - 18 = -2x + 4\).
Отсюда: \(4x = 22\).
\(x = \frac{22}{4} = 5.5\).
- Решите неравенства:
а) \(5^{x-5} > 125\)
125 это \(5^3\), значит: \(5^{x-5} > 5^3\)
Следовательно: \(x-5 > 3\). \(x > 8\).
б) \(3^{2x-1} < \frac{1}{27}\)
\(\frac{1}{27} = 3^{-3}\).
Так что \(3^{2x-1} < 3^{-3}\).
Получаем: \(2x-1 < -3\). \(2x < -2\).
\(x < -1\).
в) \(2^{x-2} \geq 8 \cdot \sqrt{2}\)
Необходимо выразить 8 как \(2^3\) и \(\sqrt{2}\) как \(2^{0.5}\), тогда \(8 \cdot \sqrt{2} = 2^{3.5}\).
Так что \(2^{x-2} \geq 2^{3.5}\).
\(x-2 \geq 3.5\).
\(x \geq 5.5\).
Вот так мы разобрались с уравнениями и неравенствами! Если что-то непонятно, дай знать!
