Сколько существует восьмизначных чисел состоящих из цифр семь пять и девять в которых цифра семь повторяется четыре раза а цифры 5 и 9 по два раза

Чтобы определить, сколько существует восьмизначных чисел, состоящих из цифр 7, 5 и 9, где цифра 7 повторяется четыре раза, а цифры 5 и 9 по два раза, мы можем использовать комбинаторику.

1. Сначала нужно выяснить, какова общая структура числа. У нас есть:

   • Цифра 7 - 4 раза,
   • Цифра 5 - 2 раза,
   • Цифра 9 - 2 раза.

2. В общей сложности у нас 8 цифр, которые нужно расположить.

3. Для подсчета количества возможных перестановок можно использовать формулу для определения количества перестановок, учитывая повторения:

   \[ N = \frac{n!}{k_1! \cdot k_2! \cdot k_3!} \]

   где \( n \) — это общее количество элементов (8 цифр), а \( k_1, k_2, k_3 \) — количество повторений каждой из цифр (4 повтора цифры 7, 2 повтора цифры 5 и 2 повтора цифры 9).

4. Подставим наши значения в формулу:

   • \( n = 8 \)
   • \( k_1 = 4 \) (для 7)
   • \( k_2 = 2 \) (для 5)
   • \( k_3 = 2 \) (для 9)

   \[ N = \frac{8!}{4! \cdot 2! \cdot 2!} \]

5. Теперь посчитаем факториалы:

   • \( 8! = 40320 \)
   • \( 4! = 24 \)
   • \( 2! = 2 \)

6. Подставим обратно в формулу: \[ N = \frac{40320}{24 \cdot 2 \cdot 2} = \frac{40320}{96} = 420 \]

Таким образом, существует 420 восьмизначных чисел, состоящих из цифр 7, 5 и 9, где цифра 7 повторяется четыре раза, а цифры 5 и 9 по два раза.