Найти область определения и область значения функции y=√x²+46

Чтобы найти область определения и область значения функции \( y = \sqrt{x^2 + 46} \), начнем с области определения.

Область определения: Функция \( y = \sqrt{x^2 + 46} \) включает в себя квадратный корень. Квадратный корень определен для всех неотрицательных значений. В данном случае выражение внутри корня, \( x^2 + 46 \), всегда положительно, поскольку \( x^2 \) (квадрат любого числа) не может быть отрицательным, а добавление 46 делает это выражение всегда больше нуля. Следовательно, область определения функции включает все действительные числа: \[ D = (-\infty, +\infty) \]

Область значения: Теперь рассмотрим область значения функции. Поскольку \( x^2 \) не может быть меньше 0, \( x^2 + 46 \) всегда будет не меньше 46. Это означает, что наименьшее значение, которое может принимать выражение под корнем, — это 46, а следовательно: \[ y = \sqrt{x^2 + 46} \geq \sqrt{46} \] Функция может принимать любые значения больше или равные \( \sqrt{46} \). Таким образом, область значения будет: \[ W = [\sqrt{46}, +\infty) \]

В заключение, у нас получились следующие области:

• Область определения: \( D = (-\infty, +\infty) \)
• Область значения: \( W = [\sqrt{46}, +\infty) \)