Найти область определения и область значения функции у = √х²+36

Чтобы найти область определения и область значения функции \( y = \sqrt{x^2 + 36} \), давайте рассмотрим каждый из этих аспектов отдельно.

Область определения

Область определения функции — это все значения \( x \), для которых функция имеет смысл. В данном случае это квадратный корень \( \sqrt{x^2 + 36} \).

1. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: \[ x^2 + 36 \geq 0. \] Поскольку \( x^2 \) всегда неотрицательно (даже для отрицательных \( x \)) и 36 — это положительное число, сумма всегда будет больше или равна 36. Таким образом, неравенство всегда выполняется для любых реальных \( x \).

Следовательно, область определения функции — это все действительные числа: \[ D(y) = (-\infty, +\infty). \]

Область значения

Теперь найдем область значения функции \( y \).

1. Заметим, что \( y = \sqrt{x^2 + 36} \) всегда будет положительным, так как под корнем находится сумма двух неотрицательных чисел (квадрат любого числа и 36).
2. Минимальное значение \( y \) достигается, когда \( x^2 \) минимально (то есть \( x = 0 \)): \[ y(0) = \sqrt{0^2 + 36} = \sqrt{36} = 6. \]
3. Что касается максимального значения, то \( x^2 \) может принимать любую неотрицательную величину, что приводит к \( y \) к бесконечности.

Таким образом, область значения функции: \[ R(y) = [6, +\infty). \]

Ответ

• Область определения: \( D(y) = (-\infty, +\infty) \)
• Область значения: \( R(y) = [6, +\infty) \)

Если у вас есть дополнительные вопросы по этой теме или другим математическим концепциям, задавайте!