3x 2 +x−14<0 .

Давайте решим неравенство \(3x^2 + x - 14 < 0\).

1. Сначала найдем корни соответствующего уравнения \(3x^2 + x - 14 = 0\) с помощью дискриминанта. Дискриминант определяется по формуле: \[ D = b^2 - 4ac \] где \(a = 3\), \(b = 1\) и \(c = -14\).

   Подставим значения: \[ D = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-14) = 1 + 168 = 169 \]

2. Теперь находим корни с помощью формулы корней квадратного уравнения: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \] Подставляем значения: \[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{169}}{2 \cdot 3} = \frac{-1 \pm 13}{6} \]

   Это дает нам два корня: \[ x_1 = \frac{12}{6} = 2 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-14}{6} = -\frac{7}{3} \]

3. Теперь, чтобы решить неравенство \(3x^2 + x - 14 < 0\), определим промежутки, в которых оно выполняется. Корни делят ось чисел на три части: \((- \infty, -\frac{7}{3})\), \((- \frac{7}{3}, 2)\) и \((2, +\infty)\).

4. Проверим знак многочлена в каждом из этих промежутков.

   • Для \(x < -\frac{7}{3}\) (например, \(x = -3\)): \[ 3(-3)^2 + (-3) - 14 = 27 - 3 - 14 = 10 > 0 \]
   • Для \(-\frac{7}{3} < x < 2\) (например, \(x = 0\)): \[ 3(0)^2 + 0 - 14 = -14 < 0 \]
   • Для \(x > 2\) (например, \(x = 3\)): \[ 3(3)^2 + 3 - 14 = 27 + 3 - 14 = 16 > 0 \]

5. Из этого анализа видно, что неравенство выполняется на промежутке \((- \frac{7}{3}, 2)\).

Таким образом, решение неравенства \(3x^2 + x - 14 < 0\) – это промежуток: \[ x \in \left(-\frac{7}{3}, 2\right) \]

Если у вас есть дополнительные вопросы по этому материалу или по другим темам, не стесняйтесь спрашивать!