В параллелограмме ABCD точка M - середина стороны CD; N - точка на стороне AD, такая, что AN:Nd = 3:4. Выразите вектора CN и MN,NB, BD через векторы b=BC и a=AB
Чтобы выразить векторы \( \vec{CN} \), \( \vec{MN} \), \( \vec{NB} \) и \( \vec{BD} \) через векторы \( \vec{b} = \vec{BC} \) и \( \vec{a} = \vec{AB} \), сначала запишем координаты точек параллелограмма \( ABCD \).
Пусть \( A \) будет вектор \( \vec{0} \) (начало координат), тогда:
- \( \vec{B} = \vec{a} \)
- \( \vec{C} = \vec{a} + \vec{b} \)
- \( \vec{D} = \vec{b} \)
Теперь определим точку \( M \), которая является серединой стороны \( CD \): \[ \vec{M} = \frac{\vec{C} + \vec{D}}{2} = \frac{(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{b}}{2} = \frac{\vec{a} + 2\vec{b}}{2} \]
Теперь найдем точку \( N \) на стороне \( AD \), которая определена в отношении \( AN:ND = 3:4 \). В таком случае, можно использовать параметрическое представление точки \( N \): \[ \vec{N} = \frac{4 \vec{A} + 3 \vec{D}}{3 + 4} = \frac{4 \cdot \vec{0} + 3 \cdot \vec{b}}{7} = \frac{3\vec{b}}{7} \]
Теперь давайте выразим векторы:
Вектор \( \vec{CN} \): \[ \vec{CN} = \vec{N} - \vec{C} = \frac{3\vec{b}}{7} - (\vec{a} + \vec{b}) = -\vec{a} + \left(\frac{3}{7} - 1\right)\vec{b} = -\vec{a} - \frac{4}{7}\vec{b} \]
Вектор \( \vec{MN} \): \[ \vec{MN} = \vec{N} - \vec{M} = \frac{3\vec{b}}{7} - \frac{\vec{a} + 2\vec{b}}{2} \] Приведем к общему знаменателю: \[ = \frac{3\vec{b}}{7} - \frac{3.5\vec{a} + 7\vec{b}}{7} = \left(-\frac{3.5}{7}\vec{a} - \frac{4}{7}\vec{b}\right) = -\frac{1}{2}\vec{a} - \frac{4}{7}\vec{b} \]
Вектор \( \vec{NB} \): \[ \vec{NB} = \vec{B} - \vec{N} = \vec{a} - \frac{3\vec{b}}{7} = \vec{a} - \frac{3}{7}\vec{b} \]
Вектор \( \vec{BD} \): \[ \vec{BD} = \vec{D} - \vec{B} = \vec{b} - \vec{a} \]
Итак, итоговые выражения для векторов:
- \( \vec{CN} = -\vec{a} - \frac{4}{7}\vec{b} \)
- \( \vec{MN} = -\frac{1}{2}\vec{a} - \frac{4}{7}\vec{b} \)
- \( \vec{NB} = \vec{a} - \frac{3}{7}\vec{b} \)
- \( \vec{BD} = \vec{b} - \vec{a} \)
Если будут дополнительные вопросы по данной теме, я с радостью помогу!
