В равнобедренном треуголь- нике АВС с основанием АС на медиане BD выбрана точ- ка М. Докажите равенство треугольников АВМ и СВМ.
Для доказательства равенства треугольников \( \triangle ABM \) и \( \triangle CBM \) в равнобедренном треугольнике \( ABC \) с основанием \( AC \) и медианой \( BD \), проведем следующие шаги:
Свойства равнобедренного треугольника: В треугольнике \( ABC \) стороны \( AB \) и \( AC \) равны, так как это равнобедренный треугольник.
\[ AB = AC \]
Свойства медианы: Поскольку \( D \) — это середина отрезка \( AC \) (так как \( BD \) является медианой), мы имеем:
\[ AD = DC \]
Общее основание: Отрезок \( BM \) является общим для обоих треугольников \( ABM \) и \( CBM \):
\[ BM = BM \]
Сравнение треугольников: Теперь мы можем записать равенства сторон:
- \( AB = AC \) (равенство сторон треугольника)
- \( AD = DC \) (медиана делит основание пополам)
- Общая сторона \( BM \)
Применение признака равенства треугольников: Теперь у нас есть три равных элемента: две стороны и угол между ними (угол \( \angle ABM = \angle CBM\) — это вертикальные углы, которые равны). Таким образом, по признаку равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними (SAS) можно утверждать:
\[ \triangle ABM \cong \triangle CBM \]
В результате мы доказали, что треугольники \( \triangle ABM \) и \( \triangle CBM \) равны.
