Докажите, что четырехугольник ABCD с вершинами A (8; -3), B (2; 5), C (10; 11), D (16; 3) — параллелограмм
Чтобы доказать, что четырехугольник ABCD является параллелограммом, нужно показать, что одна из пары противоположных сторон равна и параллельна другой. Мы можем сделать это, вычислив длины и наклоны сторон AB, BC, CD и DA.
Вычислим координаты векторов сторон:
Вектор AB: \[ AB = B - A = (2 - 8; 5 - (-3)) = (-6; 8) \]
Вектор BC: \[ BC = C - B = (10 - 2; 11 - 5) = (8; 6) \]
Вектор CD: \[ CD = D - C = (16 - 10; 3 - 11) = (6; -8) \]
Вектор DA: \[ DA = A - D = (8 - 16; -3 - 3) = (-8; -6) \]
Проверим равенство и направления векторов:
Теперь мы проверим, равны ли векторы AB и CD, а также векторы BC и DA.
Вектор AB и вектор CD: \[ AB = (-6; 8) \quad и \quad CD = (6; -8) \] Векторы AB и CD противоположны, так как: \[ AB = -1 \cdot CD \]
Вектор BC и вектор DA: \[ BC = (8; 6) \quad и \quad DA = (-8; -6) \] Векторы BC и DA также противоположны, так как: \[ BC = -1 \cdot DA \]
Заключение:
Поскольку обе пары противоположных сторон параллельны и равны по длине, мы можем утверждать, что четырехугольник ABCD является параллелограммом. Это и доказывает, что ABCD — параллелограмм.
