х²-9≥0

Чтобы решить неравенство \(x^2 - 9 \geq 0\), начнем с преобразования его в более удобный вид.

Мы можем разложить квадрат на множители:

\[ x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3) \]

Теперь наше неравенство принимает вид:

\[ (x - 3)(x + 3) \geq 0 \]

Следующим шагом является определение нулевых точек этого произведения, которые соответствуют значениям \(x\) при которых \(x - 3 = 0\) и \(x + 3 = 0\). Это происходит при:

\[ x - 3 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 3 \] \[ x + 3 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -3 \]

Теперь у нас есть два критических значения: \(x = -3\) и \(x = 3\). Эти значения делят числовую прямую на три интервала:

1. \((- \infty, -3)\)
2. \([-3, 3]\)
3. \((3, +\infty)\)

Теперь мы проверим знак произведения в каждом из этих интервалов.

1. Для интервала \((- \infty, -3)\) (например, \(x = -4\)): \[ (-4 - 3)(-4 + 3) = (-7)(-1) = 7 \quad (\text{положительно}) \]

2. Для интервала \([-3, 3]\) (например, \(x = 0\)): \[ (0 - 3)(0 + 3) = (-3)(3) = -9 \quad (\text{отрицательно}) \]

3. Для интервала \((3, +\infty)\) (например, \(x = 4\)): \[ (4 - 3)(4 + 3) = (1)(7) = 7 \quad (\text{положительно}) \]

Теперь мы знаем, где произведение положительно или равно нулю. Оно положительно в интервалах \((- \infty, -3)\) и \((3, +\infty)\), а также равно нулю в точках \(x = -3\) и \(x = 3\).

Таким образом, находим решение данного неравенства:

\[ x \in (-\infty, -3] \cup [3, +\infty) \]

Это означает, что решение неравенства \(x^2 - 9 \geq 0\) включает все значения \(x\), которые меньше или равны -3 и которые больше или равны 3.