х(5-х)(х+2)≤0
Чтобы решить неравенство \( x(5-x)(x+2) \leq 0 \), начнем с нахождения нулевых точек.
- Найдем нулевые точки:
- \( x = 0 \) (из \( x = 0 \))
- \( 5 - x = 0 \) → \( x = 5 \)
- \( x + 2 = 0 \) → \( x = -2 \)
Таким образом, нулевые точки: \( x = -2, 0, 5 \).
Разобьем числовую ось на интервалы: У нас есть 4 интервала, основанных на найденных нулях:
- \( (-\infty, -2) \)
- \( (-2, 0) \)
- \( (0, 5) \)
- \( (5, +\infty) \)
Проверим знак выражения на каждом интервале:
На интервале \( (-\infty, -2) \): Выберем точку, например, \( x = -3 \): \( (-3)(5 - (-3))( -3 + 2) = (-3)(8)(-1) > 0 \)
На интервале \( (-2, 0) \): Выберем точку \( x = -1 \): \( (-1)(5 - (-1))( -1 + 2) = (-1)(6)(1) < 0 \)
На интервале \( (0, 5) \): Выберем точку \( x = 1 \): \( (1)(5 - 1)(1 + 2) = (1)(4)(3) > 0 \)
На интервале \( (5, +\infty) \): Выберем точку \( x = 6 \): \( (6)(5 - 6)(6 + 2) = (6)(-1)(8) < 0 \)
Теперь составим итог:
- Знак положителен на интервалах \( (-\infty, -2) \) и \( (0, 5) \).
- Знак отрицателен на интервалах \( (-2, 0) \) и \( (5, +\infty) \).
Итак, учитывая неравенство \( \leq 0 \): Мы ищем те интервалы, где выражение не положительно. Это происходит на интервалах:
- \( [-2, 0] \) (включая точки, где выражение равно нулю)
- \( [5, +\infty) \) (включая точку 5, где выражение также равно нулю)
Таким образом, решение неравенства \( x(5-x)(x+2) \leq 0 \) — это объединение интервалов: \[ [-2, 0] \cup [5, +\infty) \]
