Решите уравнение п! = 630 п² в натуральных числах (n!=1-2-3-... (n-1)n; 5! 1-2-3-4-5=120).
Давайте решим уравнение \( n! = 630n^2 \) в натуральных числах.
Сначала напоминаем, что \( n! \) – это произведение всех натуральных чисел от 1 до \( n \).
Мы можем начать с вычисления факториалов для небольших значений \( n \) и сравнить их с \( 630n^2 \).
Для \( n = 1 \): \[ 1! = 1 \quad и \quad 630 \cdot 1^2 = 630 \quad \text{(не равны)} \]
Для \( n = 2 \): \[ 2! = 2 \quad и \quad 630 \cdot 2^2 = 2520 \quad \text{(не равны)} \]
Для \( n = 3 \): \[ 3! = 6 \quad и \quad 630 \cdot 3^2 = 5670 \quad \text{(не равны)} \]
Для \( n = 4 \): \[ 4! = 24 \quad и \quad 630 \cdot 4^2 = 10080 \quad \text{(не равны)} \]
Для \( n = 5 \): \[ 5! = 120 \quad и \quad 630 \cdot 5^2 = 15750 \quad \text{(не равны)} \]
Для \( n = 6 \): \[ 6! = 720 \quad и \quad 630 \cdot 6^2 = 22680 \quad \text{(не равны)} \]
Для \( n = 7 \): \[ 7! = 5040 \quad и \quad 630 \cdot 7^2 = 30870 \quad \text{(не равны)} \]
Для \( n = 8 \): \[ 8! = 40320 \quad и \quad 630 \cdot 8^2 = 40320 \quad \text{(равны)} \]
Итак, мы нашли, что \( n = 8 \) является решением уравнения \( n! = 630n^2 \) в натуральных числах.
Таким образом, единственный натуральный корень уравнения – это \( n = 8 \).
