Одна сторона прямоугольника на 19 19 см меньше другой. Определи наибольшее целое значение, которое могут принимать большая и меньшая стороны, если площадь прямоугольника не…

Чтобы решить задачу, начнем с обозначения сторон прямоугольника. Пусть одна сторона равна \( x \) сантиметрам, а другая сторона будет на \( 19 \) см меньше, то есть \( x - 19 \) см.

Площадь прямоугольника можно выразить следующим образом: \[ S = x \cdot (x - 19) \] Согласно условию задачи, площадь не должна превышать \( 42 \) см²: \[ x \cdot (x - 19) \leq 42 \]

Теперь разложим это неравенство: \[ x^2 - 19x - 42 \leq 0 \]

Для решения этого квадратного неравенства найдем корни уравнения: \[ x^2 - 19x - 42 = 0 \]

Используем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-19)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-42) = 361 + 168 = 529 \]

Теперь найдем корни: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{19 \pm \sqrt{529}}{2} = \frac{19 \pm 23}{2} \] Таким образом получаем два корня: \[ x_1 = \frac{42}{2} = 21, \quad x_2 = \frac{-4}{2} = -2 \]

Поскольку сторона прямоугольника не может быть отрицательной, оставляем только \( x_1 = 21 \).

Теперь необходимо определить, для каких значений \( x \) выполняется неравенство \( x^2 - 19x - 42 \leq 0 \). Для этого рассмотрим промежутки, используя найденные корни:

1. \( x < -2 \)
2. \( -2 < x < 21 \)
3. \( x > 21 \)

Исследуя знаки на этих промежутках, видим, что неравенство выполняется на промежутке: \[ -2 < x \leq 21 \]

Теперь определим большую и меньшую стороны.

Если принимаем максимальное целое значение для \( x \), то это \( x = 21 \). В этом случае меньшая сторона: \[ x - 19 = 21 - 19 = 2 \]

Таким образом, наибольшее целое значение сторон будет:

• Большая сторона: \( 21 \) см
• Меньшая сторона: \( 2 \) см

Проверим площадь: \[ 21 \cdot 2 = 42 \, \text{см}^2 \]

Следовательно, максимальные целые значения сторон прямоугольника, при которых площадь не превосходит \( 42 \, \text{см}^2 \):

• Большая сторона: \( 21 \) см
• Меньшая сторона: \( 2 \) см