в коробке семь красных и три синих шара случайным образом из коробки извлекают пять шаров Какова вероятность события среди извлеченных не более трёх красных шаров

Чтобы рассчитать вероятность того, что среди извлеченных пяти шаров не более трех красных, мы можем использовать комбинаторику.

В коробке у нас 7 красных и 3 синих шара, всего 10 шаров. Мы будем находить вероятность для следующих случаев:

1. 0 красных шаров
2. 1 красный шар
3. 2 красных шара
4. 3 красных шара

Для этого воспользуемся формулой для вычисления сочетаний, которая выглядит так:

\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n - k)!} \]

где \(C(n, k)\) — число сочетаний из \(n\) по \(k\), а \(n!\) — факториал числа \(n\).

Общее количество способов выбрать 5 шаров из 10:

\[ C(10, 5) = \frac{10!}{5! \cdot 5!} = 252 \]

Теперь рассчитаем количество способов для каждого случая:

1. 0 красных шаров (5 синих):

   • К выбрать 0 красных: \(C(7, 0)\)
   • К выбрать 5 синих: \(C(3, 5) = 0\)

   Поэтому общее количество: \(C(7, 0) \cdot C(3, 5) = 1 \cdot 0 = 0\)

2. 1 красный шар:

   • К выбрать 1 красный: \(C(7, 1) = 7\)
   • К выбрать 4 синих: \(C(3, 4) = 0\)

   Общее количество: \(C(7, 1) \cdot C(3, 4) = 7 \cdot 0 = 0\)

3. 2 красных шара:

   • К выбрать 2 красных: \(C(7, 2) = 21\)
   • К выбрать 3 синих: \(C(3, 3) = 1\)

   Общее количество: \(C(7, 2) \cdot C(3, 3) = 21 \cdot 1 = 21\)

4. 3 красных шара:

   • К выбрать 3 красных: \(C(7, 3) = 35\)
   • К выбрать 2 синих: \(C(3, 2) = 3\)

   Общее количество: \(C(7, 3) \cdot C(3, 2) = 35 \cdot 3 = 105\)

Теперь суммируем количества случаев, чтобы получить общее количество благоприятных исходов:

\[ 0 + 0 + 21 + 105 = 126 \]

Теперь находим вероятность:

\[ P = \frac{126}{252} = \frac{1}{2} \]

Таким образом, вероятность того, что среди извлеченных шаров будет не более трех красных, составляет \(\frac{1}{2}\) или 50%.