Угол между диагоналями прямоугольника равен 60°, а меньшая сторона прямоугольника равна 5 см . Найдите диагонали прямоугольника
Чтобы найти длины диагоналей прямоугольника, начнем с известно угла между диагоналями и меньшей стороны.
Обозначим стороны прямоугольника как \( a \) (меньшая сторона) и \( b \) (большая сторона). У нас есть:
- Угол между диагоналями \( \alpha = 60^\circ \).
- Длина меньшей стороны \( a = 5 \) см.
Диагонали прямоугольника (\( d \)) можно вычислить по формуле:
\[ d = \sqrt{a^2 + b^2} \]
Так как мы не знаем длину большей стороны \( b \), воспользуемся свойством углов между диагоналями. Угол между двумя диагоналями равен \( \alpha \), и можно использовать соотношение:
\[ \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{a}{b} \]
Рассчитаем \( \tan\left(30^\circ\right) \):
\[ \tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}} \]
Таким образом, мы имеем:
\[ \frac{a}{b} = \frac{1}{\sqrt{3}} \]
Подставим значение \( a = 5 \):
\[ \frac{5}{b} = \frac{1}{\sqrt{3}} \Rightarrow b = 5\sqrt{3} \]
Теперь мы знаем обе стороны прямоугольника: \( a = 5 \) см и \( b = 5\sqrt{3} \) см. Подставим эти значения в формулу для диагонали:
\[ d = \sqrt{5^2 + (5\sqrt{3})^2} = \sqrt{25 + 75} = \sqrt{100} = 10 \text{ см}. \]
Таким образом, длины диагоналей прямоугольника равны 10 см.
