В треугольнике ABC медиана BM равна стороне AC . На продолжениях сторон BA и BC за точки A и C соответственно выбраны точки D и E такие, что AD=AB и CE=BC . Известно, что ∠ABC=52∘ . Найдите ∠ADM+∠CEM

Для решения задачи будем использовать свойства треугольников и некоторые понятия из геометрии.

1. Рассмотрим треугольник \( ABC \) с медианой \( BM \), где \( M \) — середина стороны \( AC \). По условию медиана \( BM \) равна стороне \( AC \).

2. Поскольку \( D \) и \( E \) выбраны так, что \( AD = AB \) и \( CE = BC \), мы можем сделать вывод, что \( D \) и \( E \) находятся на продолжениях от \( A \) и \( C \) соответственно, и отрезки \( AD \) и \( CE \) равны соответствующим сторонам треугольника \( ABC \).

3. Знаем, что \( \angle ABC = 52^\circ \). Обозначим углы:

   • \( \angle ABD = \alpha \)
   • \( \angle CBE = \beta \)

   С учетом направлений углов и свойств равнобедренного треугольника (здесь наклонные равны), получаем, что \( \alpha = \angle ABC \) и \( \beta = \angle ABC \).

4. Далее, \( AD = AB \), значит, треугольник \( ABD \) равнобедренный, и \( \angle ABD = \angle ADB = \alpha \).

5. Аналогично, у нас есть треугольник \( CBE \), который также равнобедренный, и угол \( \angle CBE = \angle CEB = \beta \).

Теперь посчитаем углы:

• В треугольнике \( ABD \): \[ \angle ADB + \angle ABD + \angle BAD = 180^\circ \] \[ \alpha + \alpha + \angle BAD = 180^\circ \] \[ 2\alpha + \angle BAD = 180^\circ \] \[ \angle BAD = 180^\circ - 2\alpha \]

• В треугольнике \( CBE \): \[ \angle CEB + \angle CBE + \angle BEC = 180^\circ \] \[ \beta + \beta + \angle BEC = 180^\circ \] \[ 2\beta + \angle BEC = 180^\circ \] \[ \angle BEC = 180^\circ - 2\beta \]

Теперь, выражения для углов \( \angle BAD \) и \( \angle BEC \) у нас есть.

Чтобы найти \( \angle ADM + \angle CEM \), используем факт, что угол между прямой и медианой равен: \[ \angle ADM + \angle CEM = \angle BAD + \angle BEC \] \[ = (180^\circ - 2\alpha) + (180^\circ - 2\beta) \] \[ = 360^\circ - 2(\alpha + \beta) \]

Теперь подставим \( \alpha \) и \( \beta \): Поскольку \( \alpha = \beta = 52^\circ \): \[ 360^\circ - 2(52^\circ + 52^\circ) \] \[ = 360^\circ - 2 \cdot 104^\circ \] \[ = 360^\circ - 208^\circ \] \[ = 152^\circ \]

Таким образом, мы получаем: \[\angle ADM + \angle CEM = 152^\circ\].

Это и будет искомый ответ. Если у вас будут дополнительные вопросы или нужны разъяснения, пожалуйста, дайте знать!