В четырёхугольнике отметили точки, делящие его стороны на три равные части. Найдите отношение площади исходного четырёхугольника к площади серого четырёхугольника.

В данном случае мы рассматриваем четырехугольник, стороны которого разделены на три равные части. Это значит, что на каждой стороне четырехугольника находятся две точки, которые делят её на три одинаковые части.

Для решения задачи, нужно обратить внимание на несколько моментов:

1. Площадь серого четырехугольника: Серый четырехугольник, о котором идет речь, получается путем соединения точек, отмеченных на сторонах исходного четырехугольника. Эти точки делят каждую сторону на три равные части, и, соединяя соответствующие точки, мы создаем новый четырехугольник.

2. Отношение площадей: Площадь нового четырехугольника можно выразить через площадь исходного. Если точки на каждой стороне делят её на три равные части, то в результате следует, что, соединяя эти точки, мы создаем пропорционально меньший четырехугольник, площадь которого будет равна \((\frac{1}{3})^2\) площади исходного четырехугольника. Это происходит потому, что площади двух подобных фигур относятся как квадрат их соответствующих линейных масштабов.

Таким образом, если обозначить площадь исходного четырехугольника как \(S\), то площадь серого четырехугольника составит \(\frac{S}{9}\).

3. Итоговое отношение: Теперь, чтобы найти отношение площади исходного четырехугольника к площади серого четырехугольника, мы получаем: \[ \frac{S}{\frac{S}{9}} = 9. \]

Следовательно, отношение площади исходного четырехугольника к площади серого четырехугольника равно 9.