Дан равнобедренный треугольник ABC с основанием BC . На продолжении боковой стороны AC за точку C отмечена точка M . На луче MB за точкой B нашлась такая точка N , что AN=AM .…

Для решения данной задачи начнем с того, что у нас есть равнобедренный треугольник ABC с основанием BC и углом ∠CBM = 24º. Поскольку треугольник равнобедренный, углы при основании (∠ABC и ∠ACB) равны.

1. Обозначим угол ∠ABC как α. Таким образом: \[ \angle ABC = \angle ACB = α \]

2. В треугольнике ABC сумма углов равна 180º, следовательно: \[ α + α + ∠BAC = 180º \] \[ 2α + ∠BAC = 180º \] Это можно переписать как: \[ ∠BAC = 180º - 2α \]

3. Теперь рассмотрим угол ∠CBM. Мы знаем, что: \[ ∠CBM = 24º \] Также, так как M находится на продолжении AC, угол ∠ACM равен 180º - ∠ACB = 180º - α.

4. Теперь рассмотрим угол ∠ABM. Он является внешним углом к треугольнику CBM и равен: \[ ∠ABM = ∠CBM + ∠ACB = 24º + α \]

5. Теперь перейдем к точке N. Так как AN = AM, то отрезки AN и AM равны, и треугольник AMN является равнобедренным с основанием MN.

6. Угол ∠NAB можно найти через угол ∠ABM и угол ∠AMN, который равен углу ∠BAM. Углы AMN и ANM равны, поскольку треугольник AMN равнобедренный. Следовательно: \[ ∠NAB = ∠ABM - ∠BAM \]

7. Угол ∠BAM равен половине угла ∠BAC, то есть: \[ ∠BAM = \frac{1}{2} (180º - 2α) = 90º - α \]

8. Теперь подставим все значения в формулу для ∠NAB: \[ ∠NAB = (24º + α) - (90º - α) \] \[ ∠NAB = 24º + α - 90º + α \] \[ ∠NAB = 2α - 66º \]

9. Чтобы найти α, используем угол ∠CBM: \[ α = ∠ABC = \angle ACB = 24º \implies α + ∠CBM = 180º - ∠BAC \] Следовательно, \[ α = 78º \]

10. Теперь подставим α в выражение для ∠NAB: \[ ∠NAB = 2(78º) - 66º = 156º - 66º = 90º \]

Таким образом, угол ∠NAB равен 90º.