Докажите неравенство 5/4a²+3ab+2b²≥0, где a и b действительные числа
Для доказательства неравенства \( \frac{5}{4}a^2 + 3ab + 2b^2 \geq 0 \), давайте рассмотрим его как квадратное выражение относительно переменной \( a \):
\[ f(a) = \frac{5}{4}a^2 + 3ab + 2b^2. \]
Это выражение является квадратным в отношении \( a \) и имеет вид \( A a^2 + B a + C \), где:
- \( A = \frac{5}{4} \),
- \( B = 3b \),
- \( C = 2b^2 \).
Для того чтобы проверить, что это неравенство выполняется для всех действительных \( a \) и \( b \), нужно определить, имеет ли квадратное уравнение \( f(a) = 0 \) действительные корни. Это можно сделать, используя дискриминант \( D \):
\[ D = B^2 - 4AC. \]
Подставим значения:
\[ D = (3b)^2 - 4 \cdot \frac{5}{4} \cdot 2b^2 = 9b^2 - 10b^2 = -b^2. \]
Дискриминант \( D = -b^2 \) всегда не положителен (то есть \( D \leq 0 \)) для всех действительных \( b \). Это означает, что квадратное уравнение не имеет действительных корней, и его график не пересекает ось \( a \).
Так как коэффициент \( A = \frac{5}{4} > 0 \), это значит, что парабола направлена вверх, и при \( D < 0 \) неравенство \( f(a) \geq 0 \) выполняется для всех \( a \) и \( b \).
Таким образом, неравенство
\[ \frac{5}{4}a^2 + 3ab + 2b^2 \geq 0 \]
действительно выполняется для всех действительных чисел \( a \) и \( b \).
