Докажите неравенство 5/4a²+3ab+2b²>/=0 где a и b действительные числа
Для того чтобы доказать неравенство \( \frac{5}{4}a^2 + 3ab + 2b^2 \geq 0 \) для всех действительных чисел \( a \) и \( b \), мы можем рассмотреть его как квадратичную функцию по переменной \( a \). Общая форма квадратичной функции выглядит как \( A a^2 + B a + C \), где:
- \( A = \frac{5}{4} \)
- \( B = 3b \)
- \( C = 2b^2 \)
Для того чтобы эта квадратичная функция была неотрицательной для всех \( a \), необходимо, чтобы дискриминант был не положителен. Дискриминант \( D \) вычисляется по формуле:
\[ D = B^2 - 4AC \]
Подставим наши значения:
\[ D = (3b)^2 - 4 \cdot \frac{5}{4} \cdot 2b^2 \]
Упростим выражение:
\[ D = 9b^2 - 10b^2 = -b^2 \]
Дискриминант \( D = -b^2 \) не может быть положительным и всегда будет меньше или равно нуля, так как квадрат любого действительного числа неотрицательный. Таким образом, дискриминант отрицателен, когда \( b \neq 0 \), и равен нулю, когда \( b = 0 \).
Это означает, что квадратичная функция \( \frac{5}{4}a^2 + 3ab + 2b^2 \) в любом случае имеет минимум выше или равно нулю. Если \( b = 0 \), то выражение сводится к:
\[ \frac{5}{4}a^2 \geq 0, \]
что верно для любого \( a \). Если \( b \neq 0 \), то минимальное значение будет также положительным.
Таким образом, мы можем заключить, что неравенство \( \frac{5}{4}a^2 + 3ab + 2b^2 \geq 0 \) выполняется для всех действительных значений \( a \) и \( b \).
