значение арифметического выражения:64¹⁵⁰+4³⁰⁰-32 записали в системе счисления с основанием 8. сколько цифр 7 в этой записи?
Чтобы найти значение арифметического выражения \(64^{150} + 4^{300} - 32\) и записать его в системе счисления с основанием 8, начнем с упрощения самого выражения.
- Преобразуем каждое число:
- \(64 = 8^2\), значит \(64^{150} = (8^2)^{150} = 8^{300}\).
- \(4 = 8^{1/2}\), значит \(4^{300} = (8^{1/2})^{300} = 8^{150}\).
- \(32 = 8^{5/3}\) (так как \(32 = 2^5\) и \(8 = 2^3\), то \(32 = (2^3)^{5/3} = 8^{5/3}\)).
Следовательно, можем переписать выражение так:
\[ 64^{150} + 4^{300} - 32 = 8^{300} + 8^{150} - 8^{5/3}. \]
- Приведем все к общему основанию:
Избегая записи \(8^{300} + 8^{150} - 8^{5/3}\), не будем сразу считать, а упростим далее.
Из этого выражения можем выделить \(8^{150}\):
\[ 8^{150} + 8^{150} - 8^{5/3} = 8^{150} \cdot (1 + 1 - 8^{-145/150}). \]
Так как \(8^{5/3} = 8^{150} / 8^{145/150}\), тогда мы можем ориентироваться на \(8^{150} \cdot \left(2 - \frac{1}{8^{145/150}} \right)\).
Если вычислить численное значение, мы видим, что \(8^{150}\) действительно доминирует в выражении, и поэтому мы можем сосредоточиться на количестве цифр 7 в записи числа в системе 8.
Теперь вычислим:
\[ 8^{150} + 8^{150} - 8^{5/3} \approx K \cdot 8^{150} \text{ (где K — это немного меньше 2)}. \]
Записывая это значение в системе счисления с основанием 8, заметим, что \(8^{150}\) в восьмеричной системе будет представлено как \(100\ldots0\) (150 нулей после единицы). Когда мы добавляем \(K\) (где \(K<2\)), это значение также не превышает двух единиц и каждая единица будет менять на нулях этих разрядах.
- Таким образом, после всех преобразований мы сделаем вывод, что в записи не будет цифр 7 и только будут взяты в расчет последующие нули впоследствии.
Результат: количество цифр 7 в записи данного числа в восьмеричной системе счисления равно 0.
