найти интервалы монотонности функции: у=2х³+24х
Чтобы найти интервалы монотонности функции \( y = 2x^3 + 24x \), сначала необходимо определить её производную.
Найдем производную функции: \[ y' = \frac{d}{dx}(2x^3 + 24x) = 6x^2 + 24. \]
Далее, найдем критические точки, установив производную равной нулю: \[ 6x^2 + 24 = 0. \] \[ 6x^2 = -24. \] \[ x^2 = -4. \]
Поскольку уравнение \( x^2 = -4 \) не имеет действительных решений, значит, производная не равна нулю для всех действительных \( x \).
Теперь посмотрим на знак производной. Заметим, что \( 6x^2 \) всегда неотрицательно, а \( 24 > 0 \). Поэтому: \[ y' = 6x^2 + 24 > 0 \quad \text{для всех } x. \]
Таким образом, функция \( y = 2x^3 + 24x \) возрастает на всей числовой прямой.
Вывод: Функция монотонно возрастает на интервале \( (-\infty; +\infty) \).
