корень 6-х-х² = х+1

Чтобы решить уравнение \(\sqrt{6 - x - x^2} = x + 1\), начнем с того, что необходимо избавится от радикала. Для этого возведем обе стороны уравнения в квадрат:

\[ 6 - x - x^2 = (x + 1)^2 \]

Теперь раскроем правую часть уравнения:

\[ 6 - x - x^2 = x^2 + 2x + 1 \]

Переносим все члены в одну сторону:

\[ 6 - x - x^2 - x^2 - 2x - 1 = 0 \]

Соберем подобные члены:

\[ -2x^2 - 3x + 5 = 0 \]

Умножим уравнение на -1, чтобы избавиться от отрицательного знака:

\[ 2x^2 + 3x - 5 = 0 \]

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Дискриминант \(D\) равен:

\[ D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49 \]

Теперь, используя формулу корней квадратного уравнения \(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\):

\[ x_1 = \frac{-3 + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 + 7}{4} = 1 \]

\[ x_2 = \frac{-3 - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 - 7}{4} = -2.5 \]

Теперь у нас есть два возможных решения: \(x_1 = 1\) и \(x_2 = -2.5\).

Не забудьте проверить найденные корни, подставив их обратно в исходное уравнение, чтобы убедиться, что они удовлетворяют ему, так как при возведении в квадрат могут появляться extraneous roots (ложные корни).

Для корня \(x_1 = 1\):

\[ \sqrt{6 - 1 - 1^2} = \sqrt{6 - 1 - 1} = \sqrt{4} = 2 \]

\[ 1 + 1 = 2 \]

Это решение верно.

Для корня \(x_2 = -2.5\):

\[ \sqrt{6 - (-2.5) - (-2.5)^2} = \sqrt{6 + 2.5 - 6.25} = \sqrt{2.25} = 1.5 \]

\[ -2.5 + 1 = -1.5 \]

Это решение не удовлетворяет исходному уравнению.

Таким образом, единственным решением уравнения является \(x = 1\).