Необходимо приставить доску с постоянной по длине плотностью к вертикальной гладкой стене. Вычисли тангенс минимального угла между стеной и доской (рис. 1), при котором это можно…
Необходимо приставить доску с постоянной по длине плотностью к вертикальной гладкой стене. Вычисли тангенс минимального угла между стеной и доской (рис. 1), при котором это можно сделать, если коэффициент Рис. 1. Физическая ситуация задачи трения между ней и полом = 0,4. (Ответ округли до сотых.) Ответ:
Для решения данной задачи начнем с анализа сил, действующих на доску. Мы рассмотрим силы тяжести, нормальные реакции и силу трения.
Составление сил:
- Пусть длина доски равна \( L \), а угол между доской и стеной — \( \theta \). Сила тяжести \( mg \) действует вниз в центре масс доски.
- Нормальная сила \( N \) действующая со стороны стены, направлена горизонтально, а нормальная реакция \( N_f \) от пола направлена вверх.
- Сила трения \( F_t \), которая предотвращает скольжение доски, действует горизонтально и направлена противоположно нормальной силе от стенки.
Условия равновесия:
- Для того чтобы доска не упала, сумма моментов должна быть равна нулю. Рассмотрим момент относительно точки, где доска касается пола.
- Момент от силы тяжести: \( M_g = mg \cdot \frac{L}{2} \cos(\theta) \).
- Момент от силы, действующей от стены (нормальная сила): \( M_N = N \cdot L \sin(\theta) \).
Запишем уравнение равновесия моментов: \[ mg \cdot \frac{L}{2} \cos(\theta) = N \cdot L \sin(\theta) \] Отсюда, сократив на \( L \): \[ \frac{mg}{2} \cos(\theta) = N \sin(\theta) \]
Условия на силу трения:
- Максимальная сила трения \( F_t = \mu N_f \), где \( \mu = 0,4 \).
- Условие трения: \[ N \leq \mu N_f \]
- Нормальная сила от пола (так как доска стоит вертикально и у нее имеется вес): \( N_f = mg \).
Подставим \( N \): \[ \frac{mg}{2} \cos(\theta) = \mu mg \sin(\theta) \] Удаляем \( mg \) (предполагая \( mg \neq 0 \)): \[ \frac{1}{2} \cos(\theta) = \mu \sin(\theta) \] \[ \frac{1}{2} \cos(\theta) = 0,4 \sin(\theta) \]
Разделим обе стороны на \( \cos(\theta) \): \[ \frac{1}{2} = 0,4 \tan(\theta) \]
Находим тангенс угла: \[ \tan(\theta) = \frac{1/2}{0,4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{10}{4} = \frac{5}{4} \] То есть, тангенс минимального угла будет: \[ \tan(\theta) = 1,25 \]
Таким образом, ответ: \[ \tan(\theta) \approx 1,25 \]
