На 4 полках стояло 160 книг, когда с 1 полки сняли 16 со 2 переставилии на 3, а на 4 поставили 12 кг, то на полках книг осталось поровну, сколько книг было в каждой полке первоначально?
Давайте разберем задачу шаг за шагом.
У нас есть 4 полки и всего 160 книг. Обозначим количество книг на первых трех полках как \(x_1\), \(x_2\), и \(x_3\), а на четвертой полке как \(x_4\). Тогда у нас есть уравнение:
\[ x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 160 \]
Теперь рассмотрим изменения, которые произошли с книгами:
С первой полки сняли 16 книг, значит: \[ x_1' = x_1 - 16 \]
Со второй полки переместили все книги на третью полку: \[ x_2' = 0 \quad \text{и} \quad x_3' = x_3 + x_2 \]
На четвертую полку добавили 12 книг: \[ x_4' = x_4 + 12 \]
Теперь у нас есть новое распределение книг:
- Первая полка: \(x_1 - 16\)
- Вторая полка: \(0\)
- Третья полка: \(x_3 + x_2\)
- Четвёртая полка: \(x_4 + 12\)
После всех манипуляций книги на полках должны быть равны. У нас есть уравнение:
\[ x_1 - 16 = 0 = x_3 + x_2 = x_4 + 12 \]
Из первого уравнения можно выразить:
\[ x_1 = 16 \]
Теперь, подставим значение \(x_1\) в общее уравнение:
\[ 16 + x_2 + x_3 + x_4 = 160 \]
Перепишем его:
\[ x_2 + x_3 + x_4 = 144 \]
Зная, что \(x_4 + 12 = 0\), мы можем выразить \(x_4\):
\[ x_4 = -12 \quad (\text{что неверно, значит: } x_4 = 0) \]
Теперь, учитывая \(x_4 = 0\), мы можем найти \(x_2\) и \(x_3\):
Теперь у нас:
\[ x_2 + x_3 = 144 \]
Таким образом, равенство для \(x_3 + x_2 = 0\) показывает, что \(x_3 = x_2\).
Если \(x_2 = x\), то мы можем подставить это значение в:
\[ x + x = 144 \quad \Rightarrow 2x = 144 \quad \Rightarrow x = 72 \]
Итак, \(x_2 = 72\), значит \(x_3 = 72\) и \(x_4 = 0\).
Теперь мы можем подставить обратно для получения \(x_1\):
\[ x_1 + 72 + 72 + 0 = 160 \quad \Rightarrow x_4 = 16 \]
Таким образом, изначально количество книг на полках было:
- На первой полке: 16 книг
- На второй полке: 72 книги
- На третьей полке: 72 книги
- На четвертой полке: 0 книг
Ответ: Первоначально на полках было 16, 72, 72 и 0 книг соответственно.
