-x^3+4x^2+5x/x(2x+1)(x+1)≥0

Давайте разберем неравенство \(-\frac{x^3 + 4x^2 + 5x}{x(2x + 1)(x + 1)} \geq 0\).

1. Упрощение числителя: Сначала упростим числитель \(-x^3 + 4x^2 + 5x\). Мы можем вынести -1:

   \(-x(x^2 - 4x - 5)\).

   Теперь найдем корни квадратного уравнения \(x^2 - 4x - 5 = 0\) с помощью формулы дискримината:

   \(D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36\).

   Корни уравнения:

   \(x_1 = \frac{4 + \sqrt{36}}{2} = \frac{4 + 6}{2} = 5\), \(x_2 = \frac{4 - \sqrt{36}}{2} = \frac{4 - 6}{2} = -1\).

   Таким образом, \(x^2 - 4x - 5\) можно расписать как \((x - 5)(x + 1)\). Тогда наш числитель станет:

   \(-x(x - 5)(x + 1)\).

2. Полное неравенство: Теперь подставим числитель в неравенство:

   \(-\frac{-x(x - 5)(x + 1)}{x(2x + 1)(x + 1)} \geq 0\).

   Это упрощается до:

   \(\frac{x(x - 5)}{(2x + 1)} \geq 0\).

3. Нахождение нулей и интервалов: Найдем критические точки, где числитель и знаменатель равны нулю:

   • Числитель равен нулю при \(x = 0\) и \(x = 5\).
   • Знаменатель равен нулю при \(2x + 1 = 0\) или \(x = -\frac{1}{2}\).

   Итак, важные точки: \(x = -\frac{1}{2}\), \(x = 0\) и \(x = 5\).

4. Тестирование интервалов: Теперь проверим знаки в интервалах:

   • Интервал \((-∞, -\frac{1}{2})\): выберем \(x = -1\): \(\frac{-1 \cdot (-1 - 5)}{(2 \cdot -1 + 1)} = \frac{-1 \cdot -6}{-1} < 0\).
   • Интервал \((- \frac{1}{2}, 0)\): выберем \(x = -0.1\): \(\frac{-0.1 \cdot (-0.1 - 5)}{(2 \cdot -0.1 + 1)} > 0\).
   • Интервал \((0, 5)\): выберем \(x = 1\): \(\frac{1 \cdot (1 - 5)}{(2 \cdot 1 + 1)} < 0\).
   • Интервал \((5, +∞)\): выберем \(x = 6\): \(\frac{6 \cdot (6 - 5)}{(2 \cdot 6 + 1)} > 0\).

5. Сбор результата: Теперь мы знаем, что неравенство выполняется в интервалах \((- \frac{1}{2}, 0]\) и \((5, +\infty)\).

Таким образом, решение неравенства \(-\frac{x^3 + 4x^2 + 5x}{x(2x + 1)(x + 1)} \geq 0\) будет представлено как:

\[ \left(-\frac{1}{2}, 0 \right] \cup (5, +\infty). \]

Если нужно что-то уточнить по этой теме, буду рад помочь!