Дан треугольник АВС АВ=6 см ВС=8см <АВС=90°, точка F лежит в плоскасти АВС, М и К середина отрезков АВ и ВС Точкам Р и Е середина отрезков FM и FK. Найди длинв отрезка РЕ

Чтобы найти длину отрезка \( PE \), начнем с анализа треугольника \( ABC \) с заданными данными: \( AB = 6 \, \text{см} \), \( BC = 8 \, \text{см} \), и угол \( \angle ABC = 90^\circ \).

1. Нахождение координат точек:

   • Пусть точка \( A \) находится в начале координат: \( A(0, 0) \).
   • Точка \( B \) будет на оси \( X \): \( B(6, 0) \).
   • Точка \( C \) будет на оси \( Y \): \( C(6, 8) \).

2. Определение координат точек M и K:

   • Точка \( M \) — середина отрезка \( AB \): \[ M \left( \frac{0 + 6}{2}, \frac{0 + 0}{2} \right) = M(3, 0) \]
   • Точка \( K \) — середина отрезка \( BC \): \[ K \left( \frac{6 + 6}{2}, \frac{0 + 8}{2} \right) = K(6, 4) \]

3. Определение координат точки F: Мы не знаем координаты точки \( F \), но вполне возможно, что она расположена произвольно внутри треугольника \( ABC \).

4. Нахождение координат точек F, P и E:

   • Если \( F \) произвольна, мы можем обозначить её координаты как \( F(x_F, y_F) \).
   • Точка \( P \) — середина отрезка \( FM \): \[ P \left( \frac{x_F + 3}{2}, \frac{y_F + 0}{2} \right) \]
   • Точка \( E \) — середина отрезка \( FK \): \[ E \left( \frac{x_F + 6}{2}, \frac{y_F + 4}{2} \right) \]

5. Нахождение длины отрезка \( PE \): Теперь воспользуемся формулой расстояния между двумя точками \( P \) и \( E \): \[ PE = \sqrt{\left( \frac{x_F + 3}{2} - \frac{x_F + 6}{2} \right)^2 + \left( \frac{y_F + 0}{2} - \frac{y_F + 4}{2} \right)^2} \] Упрощаем: \[ PE = \sqrt{\left( \frac{3 - 6}{2} \right)^2 + \left( \frac{0 - 4}{2} \right)^2} = \sqrt{\left( -\frac{3}{2} \right)^2 + \left( -2 \right)^2} \] \[ PE = \sqrt{\frac{9}{4} + 4} = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{16}{4}} = \sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{5}{2} = 2.5 \, \text{см} \]

Таким образом, длина отрезка \( PE \) равна \( 2.5 \, \text{см} \).