У трикутнику ABC відомо, що ∠C = 90°, AC = BC = 14 см. Дві сторони квадрата CDEF лежать на катетах трикутника ABC, а вершина E належить гіпотенузі AB. Знайдіть периметр квадрата CDEF.
Для решения задачи начнем с того, что у нас есть прямоугольный треугольник ABC с прямым углом при вершине C. Длину катетов AC и BC указанно равной 14 см.
Сначала найдем длину гипотенузы AB, используя теорему Пифагора:
\[ AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} \]
Подставим известные значения:
\[ AB = \sqrt{14^2 + 14^2} \] \[ AB = \sqrt{196 + 196} \] \[ AB = \sqrt{392} \] \[ AB = 14\sqrt{2} \, \text{см} \]
Теперь перейдем непосредственно к квадрату CDEF. Вершина C квадрата находится в точке C (где AC и BC пересекаются), а вершина D будет на стороне AC, а вершина F на стороне BC. Вершина E располагается на гипотенузе AB.
Обозначим длину стороны квадрата CDEF как \( x \). Тогда координаты точек будут следующие:
- C(0, 0) — начальная точка,
- D(0, x) — на катете AC,
- F(x, 0) — на катете BC,
- E будет находиться на стороне AB.
Для нахождения места, где E касается гипотенузы AB, используем наклон гипотенузы. Угол наклона гипотенузы к осям определяет, что расстояние от точки E до точек D и F (высота и база квадрата) составляют одинаковое значение x, так как квадрат имеет равные стороны.
Координаты точки E на гипотенузе AB можно выразить через уравнение прямой. Угол наклона гипотенузы AB вычисляется через координаты:
Уравнение гипотенузы AB: \[ y = -x + 14 \] (так как гипотенуза падает с 14 см на горизонтальной и вертикальной оси).
Теперь мы знаем, что расстояние от точки C до точки E по вертикали составляет \( x \), поэтому: \[ x = 14 - x \]
Решаем это уравнение: \[ 2x = 14 \] \[ x = 7 \, \text{см} \]
Теперь, зная длину стороны квадрата \( x = 7 \, \text{см} \), можем найти периметр квадрата CDEF:
Периметр квадрата рассчитывается по формуле: \[ P = 4 \cdot x \]
Таким образом: \[ P = 4 \cdot 7 = 28 \, \text{см} \]
Ответ: периметр квадрата CDEF составляет 28 см.
