Реши методом Гаусса x+2y-z=1 2x-y+z=5 3x+2y+z=7
Чтобы решить систему уравнений методом Гаусса, начнем с записи нашей системы в виде расширенной матрицы:
\[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & | & 1 \\ 2 & -1 & 1 & | & 5 \\ 3 & 2 & 1 & | & 7 \end{pmatrix} \]
Теперь будем приводить матрицу к верхнему треугольному виду.
Первый этап. У нас есть первый столбец. Для обнуления элементов под ним вычтем 2 раза первое уравнение из второго и 3 раза первое уравнение из третьего:
\[ R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1: \quad 2 - 2 \cdot 1 = 0,\ -1 - 2 \cdot 2 = -5,\ 1 - 2 \cdot (-1) = 3,\ 5 - 2 \cdot 1 = 3 \] \[ R_3 \leftarrow R_3 - 3R_1: \quad 3 - 3 \cdot 1 = 0,\ 2 - 3 \cdot 2 = -4,\ 1 - 3 \cdot (-1) = 4,\ 7 - 3 \cdot 1 = 4 \]
Таким образом, получаем новую матрицу:
\[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & | & 1 \\ 0 & -5 & 3 & | & 3 \\ 0 & -4 & 4 & | & 4 \end{pmatrix} \]
Второй этап. Теперь обнулим элемент ниже второго элемента первого столбца. Выразим из второго уравнения и подставим в третье.
Умножим второе уравнение на \( \frac{4}{5} \) и добавим к третьему:
\[ R_3 \leftarrow R_3 - \frac{4}{5}R_2: \quad 0 - 0 = 0,\ -4 - (-4 \cdot (-\frac{4}{5})) = -\frac{4}{5},\ 4 - (3 \cdot \frac{4}{5}) = \frac{4}{5},\ 4 - (3 \cdot \frac{4}{5}) = 0 \]
Теперь у нас получается:
\[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & | & 1 \\ 0 & -5 & 3 & | & 3 \\ 0 & 0 & 0 & | & 0 \end{pmatrix} \]
Третий этап. Мы можем решить систему с первого (условий) уравнения и выразить \( z \) через \( y \):
Из второго уравнения: \[ -5y + 3z = 3 \implies 3z = 3 + 5y \implies z = 1 + \frac{5}{3}y \]
Из первого уравнения: \[ x + 2y - z = 1 \implies x = 1 - 2y + z \implies x = 1 - 2y + (1 + \frac{5}{3}y) = 2 - 2y + \frac{5}{3}y \]
Таким образом: \[ x = 2 + \left(-2 + \frac{5}{3}\right)y = 2 + \left(-\frac{6}{3} + \frac{5}{3}\right)y = 2 - \frac{1}{3}y \]
Результат. Мы имеем одно уравнение с тремя переменными, что указывает на бесконечно много решений. Для получения конкретных значений переменных можно выбрать произвольное значение \( y \).
Например, если \( y = 0 \):
- Тогда \( z = 1 \) и \( x = 2 \).
Таким образом, одно из решений: \( (2, 0, 1) \).
Общее решение будет представляться в виде параметрической зависимости:
\[ x = 2 - \frac{1}{3}t, \quad y = t, \quad z = 1 + \frac{5}{3}t, \quad t \in \mathbb{R}. \]
