В прямоугольнике ABCD проведена биссектриса угла А, которая пересекает сторону ВС в точке М, причем ВМ : МС = 2 : 3. Найдите ВС, если периметр ABCD равен 56 см.
Чтобы решить задачу, обозначим стороны прямоугольника ABCD: AB = a, BC = b.
Периметр прямоугольника равен:
\[ P = 2(a + b) = 56 \Rightarrow a + b = 28. \]
Также известно, что биссектриса угла A пересекает сторону BC в точке M, причём \( \frac{BM}{MC} = \frac{2}{3} \).
Обозначим \( BM = 2x \) и \( MC = 3x \). Тогда:
\[ BC = BM + MC = 2x + 3x = 5x. \]
Теперь можем заменить \( b \) на \( 5x \):
\[ a + 5x = 28 \quad \Rightarrow \quad a = 28 - 5x. \]
Так как ABCD - прямоугольник, то согласно свойству биссектрисы:
\[ \frac{AB}{AD} = \frac{BM}{MC} \Rightarrow \frac{a}{b} = \frac{2}{3}. \]
Подставим \( b = 5x \):
\[ \frac{a}{5x} = \frac{2}{3} \Rightarrow 3a = 10x \Rightarrow a = \frac{10x}{3}. \]
Теперь у нас есть две выражения для \( a \):
\( a = 28 - 5x \)
\( a = \frac{10x}{3} \)
Приравняем оба выражения:
\[ 28 - 5x = \frac{10x}{3}. \]
Умножим обе стороны на 3, чтобы избавиться от дроби:
\[ 84 - 15x = 10x \Rightarrow 84 = 25x \Rightarrow x = \frac{84}{25} = 3.36. \]
Теперь подставим значение \( x \) в выражение для \( b \):
\[ b = 5x = 5 \times 3.36 = 16.8 \text{ см.} \]
Итак, длина стороны \( BC \) равна 16.8 см.
