4sin^2+11sinx-3=0
Давайте решим уравнение \(4\sin^2 x + 11\sin x - 3 = 0\).
Сначала давайте обозначим \(y = \sin x\). Тогда уравнение примет вид: \[ 4y^2 + 11y - 3 = 0 \]
Теперь мы можем решить это квадратное уравнение, используя дискриминант. Формула для дискриминанта \(D\) выглядит следующим образом: \[ D = b^2 - 4ac \] Здесь \(a = 4\), \(b = 11\), и \(c = -3\). Подставим эти значения в формулу: \[ D = 11^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 121 + 48 = 169 \]
Теперь, когда мы знаем дискриминант, можем найти корни уравнения с помощью формулы: \[ y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \] Подставим значения: \[ y = \frac{-11 \pm \sqrt{169}}{2 \cdot 4} = \frac{-11 \pm 13}{8} \]
Теперь рассмотрим оба возможных значения для \(y\):
- Когда мы берем \(+\): \[ y_1 = \frac{-11 + 13}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} \]
- Когда берем \( - \): \[ y_2 = \frac{-11 - 13}{8} = \frac{-24}{8} = -3 \]
Поскольку \(\sin x\) не может быть меньше -1 и больше 1, второе решение \(y_2 = -3\) мы отвергаем. Таким образом, остается только: \[ \sin x = \frac{1}{4} \]
Чтобы найти \(x\), нам нужно найти арксинус: \[ x = \arcsin\left(\frac{1}{4}\right) \]
Решение будет в диапазоне, где \(\sin\) имеет положительные значения, то есть в первом и втором квадранте:
- В первом квадранте: \(x_1 = \arcsin\left(\frac{1}{4}\right)\)
- Во втором квадранте: \(x_2 = \pi - \arcsin\left(\frac{1}{4}\right)\)
Таким образом, общее решение выглядит следующим образом: \[ x = \arcsin\left(\frac{1}{4}\right) + 2k\pi \quad \text{и} \quad x = \pi - \arcsin\left(\frac{1}{4}\right) + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]
Если у вас есть дополнительные вопросы по этой теме, не стесняйтесь задавать!
