В четырёхугольники ABCD:AB=CD, угол AND=65° , угол CDB=65°.Докажите что ABCD-параллелограмм
Чтобы доказать, что четырехугольник ABCD является параллелограммом, воспользуемся свойствами углов и сторонами.
Из условия задачи нам известно, что:
- \( AB = CD \) (стороны равны)
- \( \angle AND = 65° \)
- \( \angle CDB = 65° \)
Для начала обозначим угол \(\angle ABC\) как \(x\). Поскольку сумма углов в любом четырехугольнике составляет 360°, мы можем записать:
\[ \angle AND + \angle ABC + \angle CDB + \angle DAB = 360° \]
Но в нашем случае мы знаем два угла:
- \(\angle AND = 65°\)
- \(\angle CDB = 65°\)
Следовательно, выражение становится:
\[ 65° + x + 65° + \angle DAB = 360° \]
Сложив известные углы, получаем:
\[ 130° + x + \angle DAB = 360° \]
Теперь можно выразить угол \(\angle DAB\):
\[ x + \angle DAB = 360° - 130° \] \[ x + \angle DAB = 230° \]
Также, учитывая, что противоположные углы параллелограмма равны, нам нужно показать, что \( \angle ABC + \angle DAB = 180°\). Поскольку углы \( \angle ABC\) и \( \angle CDB\) равны, а значит, по условию задачи:
\[ x + 65° = 180° \] \[ x = 180° - 65° \] \[ x = 115° \]
Теперь подставим обратно в уравнение \(x + \angle DAB = 230°\):
\[ 115° + \angle DAB = 230° \] \[ \angle DAB = 230° - 115° \] \[ \angle DAB = 115° \]
Теперь мы видим, что:
- \( \angle ABC = \angle CDB = 65°\)
- \( \angle DAB = \angle BCD = 115°\)
Отсюда следует, что:
\[ \angle ABC + \angle DAB = 65° + 115° = 180° \]
Итак, мы имеем, что сумма углов \( \angle ABC + \angle DAB = 180°\), а это указывает на то, что стороны \(AB\) и \(CD\) параллельны, а также стороны \(AD\) и \(BC\) (по аналогии).
Следовательно, четырехугольник ABCD является параллелограммом.
Таким образом, мы доказали, что ABCD — это параллелограмм.
