решите систему неравенств {2x²+3x-14>=0 {3x+11>0
Чтобы решить систему неравенств, начнем с каждого неравенства отдельно.
Первое неравенство: \[ 2x² + 3x - 14 \geq 0 \] Сначала найдем корни квадратного уравнения \(2x² + 3x - 14 = 0\) с помощью дискриминанта:
\[ D = b² - 4ac = 3² - 4 \cdot 2 \cdot (-14) = 9 + 112 = 121 \]
Принимая корень дискриминанта, получаем: \[ x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - 11}{4} = -3.5 \] \[ x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + 11}{4} = 2 \]
Таким образом, корни уравнения: \(x_1 = -3.5\) и \(x_2 = 2\).
Теперь определим знаки выражения \(2x² + 3x - 14\) на интервалах, образованных корнями:
- на интервале \((-∞, -3.5)\)
- на интервале \((-3.5, 2)\)
- на интервале \((2, +∞)\)
Подберем тестовые значения:
- Для \(x = -4\): \(2(-4)² + 3(-4) - 14 = 32 - 12 - 14 = 6 \geq 0\)
- Для \(x = 0\): \(2(0)² + 3(0) - 14 = -14 < 0\)
- Для \(x = 3\): \(2(3)² + 3(3) - 14 = 18 + 9 - 14 = 13 \geq 0\)
Таким образом, решение для первого неравенства: \[ x \in (-∞, -3.5] \cup [2, +∞) \]
Второе неравенство: \[ 3x + 11 > 0 \] Переносим \(11\) в правую часть: \[ 3x > -11 \quad \Rightarrow \quad x > -\frac{11}{3} \approx -3.67 \]
Теперь объединим оба результата. Мы ищем пересечение:
- Из первого неравенства: \(x \in (-∞, -3.5] \cup [2, +∞)\)
- Из второго неравенства: \(x > -3.67\)
Пересечение:
- На интервале \((-∞, -3.5]\) первое неравенство выполняется, но \(x > -3.67\) говорит, что \(x\) должен быть большим, чем \(-3.67\), значит остаётся только \(x = -3.5\).
- Интервал \([2, +∞)\) также подходит.
Таким образом, окончательное решение системы неравенств: \[ x \in [-3.5] \cup [2, +∞) \]
