Дан равносторонний треугольник АВС со стороной длины 2 и векторы 𝑎⃗ = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗, 𝑏⃗⃗ = 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗, 𝑐⃗ = 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗. Вычислите 𝑎⃗ ∙ 𝑏⃗⃗ + 𝑏⃗⃗ ∙ 𝑐⃗ + 𝑎⃗ ∙ 𝑐⃗.

Чтобы вычислить выражение \( \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{a} \cdot \vec{c} \) для равностороннего треугольника \( ABC \) со стороной длины 2, давайте сначала определим векторы \( \vec{a} \), \( \vec{b} \) и \( \vec{c} \).

1. Определим координаты вершин треугольника. Пусть:

   • \( A(0, 0) \),
   • \( B(2, 0) \),
   • \( C(1, \sqrt{3}) \) (так как высота равностороннего треугольника равна \( \sqrt{3} \) по формуле \( h = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot a \), где \( a = 2 \)).

2. Перейдем к векторами:

   • Вектор \( \vec{a} = \overrightarrow{AB} = B - A = (2, 0) - (0, 0) = (2, 0) \).
   • Вектор \( \vec{b} = \overrightarrow{BC} = C - B = (1, \sqrt{3}) - (2, 0) = (-1, \sqrt{3}) \).
   • Вектор \( \vec{c} = \overrightarrow{AC} = C - A = (1, \sqrt{3}) - (0, 0) = (1, \sqrt{3}) \).

3. Теперь вычислим скалярные произведения:

   • \( \vec{a} \cdot \vec{b} = (2, 0) \cdot (-1, \sqrt{3}) = 2 \cdot (-1) + 0 \cdot \sqrt{3} = -2 \).
   • \( \vec{b} \cdot \vec{c} = (-1, \sqrt{3}) \cdot (1, \sqrt{3}) = -1 \cdot 1 + \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = -1 + 3 = 2 \).
   • \( \vec{a} \cdot \vec{c} = (2, 0) \cdot (1, \sqrt{3}) = 2 \cdot 1 + 0 \cdot \sqrt{3} = 2 \).

4. Теперь подставим все найденные произведения в исходное выражение: \[ \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{a} \cdot \vec{c} = -2 + 2 + 2 = 2. \]

Таким образом, ответ на вашу задачу: \[ \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{a} \cdot \vec{c} = 2. \]