биквадратное уравнение 4х4-5х2+1=0
Биквадратное уравнение — это уравнение четвёртой степени, которое можно привести к квадратному уравнению, сделав замену переменной. В вашем случае уравнение выглядит так:
\[ 4x^4 - 5x^2 + 1 = 0. \]
Для решения этого уравнения давайте сделаем замену переменной. Обозначим \( y = x^2 \). Тогда уравнение примет вид:
\[ 4y^2 - 5y + 1 = 0. \]
Теперь у нас есть квадратное уравнение, которое мы можем решить с помощью формулы дискриминанта. Дискриминант (D) вычисляется по формуле:
\[ D = b^2 - 4ac, \]
где \( a = 4 \), \( b = -5 \), \( c = 1 \).
Подставляем значения:
\[ D = (-5)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 25 - 16 = 9. \]
Поскольку дискриминант положителен, у уравнения есть два различных корня. Теперь мы можем использовать формулы для нахождения корней квадратного уравнения:
\[ y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}, \quad y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}. \]
Подставим значения:
\[ y_1 = \frac{5 + \sqrt{9}}{2 \cdot 4} = \frac{5 + 3}{8} = \frac{8}{8} = 1, \]
\[ y_2 = \frac{5 - \sqrt{9}}{2 \cdot 4} = \frac{5 - 3}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}. \]
Теперь нам нужно вернуться к переменной \( x \). Помним, что \( y = x^2 \), поэтому мы решаем два уравнения:
Для \( y_1 = 1 \): \[ x^2 = 1 \Rightarrow x = 1 \text{ или } x = -1. \]
Для \( y_2 = \frac{1}{4} \): \[ x^2 = \frac{1}{4} \Rightarrow x = \frac{1}{2} \text{ или } x = -\frac{1}{2}. \]
Таким образом, у нас есть четыре корня биквадратного уравнения:
\[ x = 1, \quad x = -1, \quad x = \frac{1}{2}, \quad x = -\frac{1}{2}. \]
Это и есть все решения! Если у вас есть дополнительные вопросы или что-то непонятно, не стесняйтесь спрашивать.
