Даны точки на плоскости S(1; 3), P(5; 1), Q(–2; 7). Вычислите а) длины векторов 𝑆𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑆𝑄⃗⃗⃗⃗⃗⃗ и 𝑆𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝑆𝑄⃗⃗⃗⃗⃗⃗; б) скалярное произведение векторов 𝑆𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ и…

Давайте последовательно решим ваши задачи.

а) Начнем с нахождения векторов \( \vec{SP} \) и \( \vec{SQ} \).

Вектор \( \vec{SP} \) находим, вычитая координаты точки \( S(1; 3) \) из координат точки \( P(5; 1) \): \[ \vec{SP} = P - S = (5 - 1; 1 - 3) = (4; -2). \]

Вектор \( \vec{SQ} \) находим аналогично: \[ \vec{SQ} = Q - S = (-2 - 1; 7 - 3) = (-3; 4). \]

Теперь вычислим векторы \( \vec{SP} + \vec{SQ} \) и \( \vec{SP} - \vec{SQ} \): \[ \vec{SP} + \vec{SQ} = (4; -2) + (-3; 4) = (4 - 3; -2 + 4) = (1; 2), \] \[ \vec{SP} - \vec{SQ} = (4; -2) - (-3; 4) = (4 + 3; -2 - 4) = (7; -6). \]

Теперь найдем длины этих векторов: Для вектора \( \vec{SP} + \vec{SQ} \): \[ |\vec{SP} + \vec{SQ}| = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}. \]

Для вектора \( \vec{SP} - \vec{SQ} \): \[ |\vec{SP} - \vec{SQ}| = \sqrt{7^2 + (-6)^2} = \sqrt{49 + 36} = \sqrt{85}. \]

Ответ: Длина \( |\vec{SP} + \vec{SQ}| = \sqrt{5} \), длина \( |\vec{SP} - \vec{SQ}| = \sqrt{85} \).

б) Теперь найдём скалярное произведение векторов \( \vec{SP} \) и \( \vec{SQ} \): \[ \vec{SP} \cdot \vec{SQ} = (4; -2) \cdot (-3; 4) = 4 \cdot (-3) + (-2) \cdot 4 = -12 - 8 = -20. \]

Чтобы найти угол между векторами, используем формулу: \[ \cos(\theta) = \frac{\vec{SP} \cdot \vec{SQ}}{|\vec{SP}| \cdot |\vec{SQ}|}. \]

Сначала найдем длины векторов \( |\vec{SP}| \) и \( |\vec{SQ}| \): \[ |\vec{SP}| = \sqrt{4^2 + (-2)^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}, \] \[ |\vec{SQ}| = \sqrt{(-3)^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5. \]

Теперь можем найти \( \cos(\theta) \): \[ \cos(\theta) = \frac{-20}{(2\sqrt{5}) \cdot 5} = \frac{-20}{10\sqrt{5}} = \frac{-2}{\sqrt{5}}. \]

Теперь найдем угол \( \theta \): \[ \theta = \arccos\left(\frac{-2}{\sqrt{5}}\right). \]

Ответ: Скалярное произведение \( \vec{SP} \cdot \vec{SQ} = -20 \), угол между векторами \( \theta = \arccos\left(\frac{-2}{\sqrt{5}}\right) \).

в) Для нахождения площади треугольника \( SPQ \) можем использовать формулу: \[ \text{Площадь} = \frac{1}{2} |\vec{SP} \times \vec{SQ}|, \] где \( \vec{SP} \times \vec{SQ} \) - это детерминант, который можно вычислить как: \[ |\vec{SP} \times \vec{SQ}| = |(4; -2) \times (-3; 4)| = |4 \cdot 4 - (-2) \cdot (-3)| = |16 - 6| = |10|. \]

Теперь подставим в формулу для площади: \[ \text{Площадь} = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5. \]

Ответ: Площадь треугольника \( SPQ = 5 \).

Надеюсь, это помогло вам разобраться в задаче! Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать.