Найди интервалы возрастания и убывания функции f(x) = x^3 - x^2 - x + 2
Чтобы найти интервалы возрастания и убывания функции \( f(x) = x^3 - x^2 - x + 2 \), нужно сначала найти её производную.
Находим производную функции: \[ f'(x) = 3x^2 - 2x - 1 \]
Решаем уравнение \( f'(x) = 0 \), чтобы найти критические точки: \[ 3x^2 - 2x - 1 = 0 \] Используем формулу дискриминанта для решения квадратного уравнения: \[ D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16 \] Теперь находим корни: \[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + 4}{6} = 1 \] \[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - 4}{6} = -\frac{1}{3} \]
Теперь исследуем знак производной \( f'(x) \) на интервалах, определяемых критическими точками:
- Интервалы: \( (-\infty, -\frac{1}{3}) \), \( (-\frac{1}{3}, 1) \), \( (1, +\infty) \)
Проверим знаки производной в этих интервалах.
- Для \( x < -\frac{1}{3} \) (например, \( x = -1 \)): \[ f'(-1) = 3(-1)^2 - 2(-1) - 1 = 3 + 2 - 1 = 4 > 0 \quad (\text{возрастает}) \]
- Для \( -\frac{1}{3} < x < 1 \) (например, \( x = 0 \)): \[ f'(0) = 3(0)^2 - 2(0) - 1 = -1 < 0 \quad (\text{убывает}) \]
- Для \( x > 1 \) (например, \( x = 2 \)): \[ f'(2) = 3(2)^2 - 2(2) - 1 = 12 - 4 - 1 = 7 > 0 \quad (\text{возрастает}) \]
Подводим итоги:
- Функция возрастает на интервалах: \( (-\infty, -\frac{1}{3}) \) и \( (1, +\infty) \)
- Функция убывает на интервале: \( (-\frac{1}{3}, 1) \)
Таким образом, интервалы возрастания и убывания функции \( f(x) = x^3 - x^2 - x + 2 \) можно записать следующим образом:
- Возрастание: \( (-\infty, -\frac{1}{3}) \) и \( (1, +\infty) \)
- Убывание: \( (-\frac{1}{3}, 1) \)
