Cos(5x)-cos(x)/sin^2(2x)

Для упрощения выражения \(\frac{\cos(5x) - \cos(x)}{\sin^2(2x)}\) начнем с анализа числителя и знаменателя.

1. Числитель: \(\cos(5x) - \cos(x)\)
   Используем формулу разности косинусов: \[ \cos A - \cos B = -2 \sin\left(\frac{A+B}{2}\right) \sin\left(\frac{A-B}{2}\right) \] Подставим \(A = 5x\) и \(B = x\): \[ \cos(5x) - \cos(x) = -2 \sin\left(\frac{5x + x}{2}\right) \sin\left(\frac{5x - x}{2}\right) = -2 \sin(3x) \sin(2x) \]

2. Знаменатель: \(\sin^2(2x)\)
   Знаменатель мы оставляем как есть.

Теперь выразим всё вместе: \[ \frac{\cos(5x) - \cos(x)}{\sin^2(2x)} = \frac{-2 \sin(3x) \sin(2x)}{\sin^2(2x)} \]

3. Упрощение
   Знаменатель \(\sin^2(2x)\) можно упростить с учетом \(\sin(2x)\): \[ = -2 \frac{\sin(3x)}{\sin(2x)} \]

Таким образом, окончательное выражение: \[ \frac{\cos(5x) - \cos(x)}{\sin^2(2x)} = -2 \frac{\sin(3x)}{\sin(2x)} \]

Это упрощение будет полезно для дальнейших расчетов или анализа функции. Если у вас есть дополнительные вопросы о тригонометрии или другие темы, с удовольствием помогу!