Найди наибольшее и наименьшее значение функции f(x) = x^3 - x^2 - x + 2 на [-1;3/2]
Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции \( f(x) = x^3 - x^2 - x + 2 \) на отрезке \([-1; \frac{3}{2}]\), нужно выполнить следующие шаги:
Найти производную функции:
\[ f'(x) = 3x^2 - 2x - 1 \]
Найти критические точки: Чтобы найти критические точки, приравняем производную к нулю:
\[ 3x^2 - 2x - 1 = 0 \]
Для решения этого квадратного уравнения воспользуемся дискриминантом:
\[ D = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16 \]
Найдем корни уравнения по формуле:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm 4}{6} \]
Это даёт два решения:
\[ x_1 = 1, \quad x_2 = -\frac{1}{3} \]
Рассмотреть значения функции в критических точках и на границах отрезка: Теперь необходимо найти значения функции \( f(x) \) в точках \(-1\), \(-\frac{1}{3}\), \(1\) и \(\frac{3}{2}\).
\[ f(-1) = (-1)^3 - (-1)^2 - (-1) + 2 = -1 - 1 + 1 + 2 = 1 \]
\[ f\left(-\frac{1}{3}\right) = \left(-\frac{1}{3}\right)^3 - \left(-\frac{1}{3}\right)^2 - \left(-\frac{1}{3}\right) + 2 = -\frac{1}{27} - \frac{1}{9} + \frac{1}{3} + 2 \]
Приведем к общему знаменателю:
\[ -\frac{1}{27} - \frac{3}{27} + \frac{9}{27} + \frac{54}{27} = \frac{59 - 1 - 3 + 9}{27} = \frac{59}{27} \approx 2.185 \]
\[ f(1) = 1^3 - 1^2 - 1 + 2 = 1 - 1 - 1 + 2 = 1 \]
\[ f\left(\frac{3}{2}\right) = \left(\frac{3}{2}\right)^3 - \left(\frac{3}{2}\right)^2 - \left(\frac{3}{2}\right) + 2 = \frac{27}{8} - \frac{9}{4} - \frac{3}{2} + 2 \]
Приведем к общему знаменателю:
\[ \frac{27}{8} - \frac{18}{8} - \frac{12}{8} + \frac{16}{8} = \frac{27 - 18 - 12 + 16}{8} = \frac{13}{8} \approx 1.625 \]
Сравнить все найденные значения:
- \( f(-1) = 1 \)
- \( f\left(-\frac{1}{3}\right) \approx 2.185 \)
- \( f(1) = 1 \)
- \( f\left(\frac{3}{2}\right) \approx 1.625 \)
На отрезке \([-1; \frac{3}{2}]\) наибольшее значение функции равно \( \frac{59}{27} \) (примерно 2.185) и достигается в точке \( x = -\frac{1}{3} \). Наименьшее значение равно \( 1 \) и достигается в точках \( x = -1 \) и \( x = 1 \).
Итак, наибольшее значение - \( \frac{59}{27} \), наименьшее значение - \( 1 \).
