Необходимо приставить доску с постоянной по длине плотностью к вертикальной гладкой стене. Определи тангенс минимального угла между стеной и доской (рис. 1), при котором это можно сделать, если коэффициент трения между ней и полом μ=0,55. (Ответ округли до сотых.)
Для решения этой задачи необходимо проанализировать силы, действующие на доску, и применить условия равновесия.
Представим доску с длиной \( L \), которая установлена под углом \( \theta \) к вертикальной стене. Рассмотрим следующую ситуацию:
Силы, действующие на доску:
- Сила тяжести \( mg \), направленная вниз, где \( m \) — масса доски.
- Нормальная сила \( N \) от стены, направленная горизонтально в сторону от стены.
- Нормальная сила \( N_f \) от пола, направленная вертикально вверх.
- Сила трения \( F_f \), которая направлена горизонтально к стене, определяемая как \( F_f = \mu N_f \).
Условия равновесия: В горизонтальном направлении: \[ N = F_f \]
В вертикальном направлении: \[ N_f = mg \]
Таким образом, сила трения будет равна: \[ \mu N_f = \mu mg \]
Теперь подставим \( N \) из первого уравнения во второе: \[ N = \mu mg \]
Момент сил: Чтобы доска была в равновесии, моменты сил должны уравновешиваться. Возьмем точку опоры на нижнем конце доски. Момент силы тяжести относительно этой точки: \[ M_{g} = \frac{L}{2} mg \sin \theta \] Момент нормальной силы от стены: \[ M_{N} = L N \cos \theta \] Подставляя \( N \): \[ M_{N} = L \mu mg \cos \theta \]
Для равновесия: \[ M_{g} = M_{N} \] То есть: \[ \frac{L}{2} mg \sin \theta = L \mu mg \cos \theta \] Упрощая уравнение (массы и длины сокращаются): \[ \frac{1}{2} \sin \theta = \mu \cos \theta \]
Выражение для тангенса угла: Делим обе стороны на \( \cos \theta \): \[ \frac{1}{2} \tan \theta = \mu \] Отсюда: \[ \tan \theta = 2\mu \]
Подставив значение коэффициента трения \( \mu = 0.55 \): \[ \tan \theta = 2 \times 0.55 = 1.1 \]
Таким образом, тангенс минимального угла между стеной и доской равен \( \tan \theta = 1.1 \).
Ответ: \( \tan \theta \approx 1.10 \) (округлено до сотых).
