Необходимо приставить доску с постоянной по длине плотностью к вертикальной гладкой стене. Рассчитай тангенс минимального угла между стеной и доской (рис. 1), при котором это можно сделать, если коэффициент трения между ней и полом μ=0,27. (Ответ округли до сотых.)

Чтобы решить задачу, сначала нужно понять, какие силы действуют на доску, расположенную под углом к стене.

1. Силы, действующие на доску:

   • Вес доски \( W = mg \), направленный вниз.
   • Нормальная сила от стены \( N_w \), направленная горизонтально.
   • Нормальная сила от пола \( N_f \), направленная вверх.
   • Сила трения \( F_r \), которая направлена против смещения доски и равна \( F_r = \mu N_f \).

2. Условия равновесия: Для того чтобы доска не падала и оставалась в равновесии, необходимо, чтобы сумма моментных усилий относительно точки опоры (где доска касается пола) была равна нулю.

3. Уравнение моментов: Давайте обозначим угол между стеной и доской как \( \theta \). Разложим силы:

   • Вес доски \( W \) создает момент \( W \cdot \frac{L}{2} \cdot \cos(\theta) \) (где \( L \) — длина доски).
   • Нормальная сила от стены \( N_w \) создает момент \( N_w \cdot L \cdot \sin(\theta) \).

   При равновесии имеем: \[ W \cdot \frac{L}{2} \cdot \cos(\theta) = N_w \cdot L \cdot \sin(\theta). \] Упростим это уравнение, сократив \( L \): \[ \frac{mg}{2} \cos(\theta) = N_w \sin(\theta). \]

4. Сила трения: Также учитываем, что сила трения \( F_r \) должна быть достаточно велика, чтобы удерживать доску на месте: \[ F_r = \mu N_f. \] В данном случае \( N_f = mg \), таким образом: \[ F_r = \mu mg. \]

5. Выражаем нормальную силу от стены: Так как силы в горизонтальном направлении также должны быть сбалансированы, мы имеем: \[ N_w = F_r = \mu mg. \]

6. Подставляем \( N_w \) в уравнение моментов: \[ \frac{mg}{2} \cos(\theta) = \mu mg \sin(\theta). \] Делим обе стороны на \( mg \) (при условии \( mg \neq 0 \)): \[ \frac{1}{2} \cos(\theta) = \mu \sin(\theta). \]

7. Работа с тангенсом угла: Упрощаем уравнение: \[ \tan(\theta) = \frac{1}{2\mu}. \]

8. Подставляем значение \( \mu = 0.27 \): \[ \tan(\theta) = \frac{1}{2 \cdot 0.27} \approx \frac{1}{0.54} \approx 1.85. \]

Ответ: \(\tan(\theta) \approx 1.85\). Таким образом, тангенс минимального угла между стеной и доской, округленный до сотых, составляет 1.85.