Найдите область допустимых значений переменной в выражении 4х²+3x-6

Для нахождения области допустимых значений переменной в выражении \(4x² + 3x - 6\), сначала определим, что это квадратное уравнение (или функция). Квадратные функции отображают параболу, и их область допустимых значений (ОДЗ) будет определяться поведением этой параболы.

Квадратное уравнение имеет вид \(ax^2 + bx + c\), где:

• \(a = 4\),
• \(b = 3\),
• \(c = -6\).

Поскольку \(a > 0\), это означает, что парабола открыта вверх. Теперь мы можем найти минимум этого выражения, который будет его наименьшим значением, и, следовательно, определит область допустимых значений.

Для нахождения координаты вершины параболы можно использовать формулу: \[ x = -\frac{b}{2a} \]

Подставим значения \(a\) и \(b\): \[ x = -\frac{3}{2 \cdot 4} = -\frac{3}{8} \]

Теперь, чтобы найти значение функции в этой точке, подставим \(x = -\frac{3}{8}\) в исходное выражение: \[ y = 4\left(-\frac{3}{8}\right)^2 + 3\left(-\frac{3}{8}\right) - 6 \] \[ y = 4\cdot\frac{9}{64} - \frac{9}{8} - 6 \] \[ y = \frac{36}{64} - \frac{72}{64} - \frac{384}{64} \] \[ y = \frac{36 - 72 - 384}{64} = \frac{-420}{64} = -\frac{105}{16} \]

Таким образом, минимум функции равен \(-\frac{105}{16}\). Поскольку парабола открыта вверх, область допустимых значений переменной \(y\) будет:

\[ [-\frac{105}{16}, +\infty) \]

Это означает, что функция может принимать значения от \(-\frac{105}{16}\) и выше.