В коробке лежат 30 галстуков, причем 12 из них красные, остальные белые. Определить вероятность того, что из 4 наудачу вынутых галстуков все они окажутся одного цвета.

Чтобы решить эту задачу, давайте сначала определим, сколько в коробке галстуков каждого цвета.

В коробке всего 30 галстуков, из которых 12 красных. Это означает, что белых галстуков:

30 - 12 = 18 белых.

Теперь нам необходимо определить вероятность того, что все 4 вынутых галстука будут одного цвета. Это может быть либо 4 красных, либо 4 белых.

1. Вероятность того, что все 4 галстука будут красными:

Для того чтобы вытащить 4 красных галстука, мы можем использовать комбинации. Общее количество способов выбрать 4 галстука из 12 красных можно выразить как \( C(12, 4) \).

Формула для вычисления комбинаций выглядит так:

\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

Где \( n \) — общее количество элементов, а \( k \) — количество выбираемых элементов.

В данном случае:

\[ C(12, 4) = \frac{12!}{4!(12-4)!} = \frac{12!}{4! \cdot 8!} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 495 \]

2. Вероятность того, что все 4 галстука будут белыми:

Аналогично, количество способов выбрать 4 белых галстука из 18:

\[ C(18, 4) = \frac{18!}{4!(18-4)!} = \frac{18!}{4! \cdot 14!} = \frac{18 \times 17 \times 16 \times 15}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 3060 \]

3. Общее количество способов выбрать 4 галстука:

Общее количество способов выбрать 4 галстука из 30:

\[ C(30, 4) = \frac{30!}{4!(30-4)!} = \frac{30!}{4! \cdot 26!} = \frac{30 \times 29 \times 28 \times 27}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 27405 \]

4. Общая вероятность того, что все 4 галстука одного цвета:

Теперь мы можем сложить вероятности двух случаев (красные и белые):

\[ P(4 \text{ красных}) = \frac{C(12, 4)}{C(30, 4)} = \frac{495}{27405} \]

\[ P(4 \text{ белых}) = \frac{C(18, 4)}{C(30, 4)} = \frac{3060}{27405} \]

Объединим эти вероятности:

\[ P(все одного цвета) = P(4 \text{ красных}) + P(4 \text{ белых}) = \frac{495 + 3060}{27405} = \frac{3555}{27405} \]

Теперь упростим это выражение. Находим максимум общего делителя:

\[ P(все одного цвета) = \frac{3555}{27405} \approx 0.1297 \]

Таким образом, вероятность того, что все 4 вынутых галстука окажутся одного цвета, составляет примерно 0.1297, что соответствует 12.97%.