Две стороны треугольника равны 10 см и 12 см, а угол между ними 60°. Найдите третью сторону треугольника и его площадь.

Чтобы найти третью сторону треугольника и его площадь, мы можем использовать теоремы о косинусах и формулу для площади треугольника.

1. Находим третью сторону по теореме косинусов.

Согласно теореме косинусов, для треугольника с сторонами \( a \), \( b \) и углом \( C \) между ними, выполняется следующее уравнение:

\[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C) \]

Где:

• \( a = 10 \, \text{см} \)
• \( b = 12 \, \text{см} \)
• \( C = 60^\circ \)
• \( c \) — третья сторона.

Подставим значения в формулу:

\[ c^2 = 10^2 + 12^2 - 2 \cdot 10 \cdot 12 \cdot \cos(60^\circ) \]

Значение \( \cos(60^\circ) = 0.5 \). Подставим это значение:

\[ c^2 = 100 + 144 - 2 \cdot 10 \cdot 12 \cdot 0.5 \] \[ c^2 = 100 + 144 - 120 \] \[ c^2 = 124 \] \[ c = \sqrt{124} \approx 11.14 \, \text{см} \]

Итак, третья сторона треугольника примерно равна \( 11.14 \, \text{см} \).

2. Находим площадь треугольника.

Для нахождения площади треугольника, у которого известны две стороны и угол между ними, можно использовать формулу:

\[ S = \frac{1}{2}ab \cdot \sin(C) \]

Где:

• \( a = 10 \, \text{см} \)
• \( b = 12 \, \text{см} \)
• \( C = 60^\circ \)
• \( \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \).

Подставим значения:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ S = 5 \cdot 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ S = 30\sqrt{3} \approx 51.96 \, \text{см}^2 \]

В итоге, третья сторона треугольника примерно равна \( 11.14 \, \text{см} \), а площадь треугольника составляет примерно \( 51.96 \, \text{см}^2 \).