При каких целых значениях q является целым числом значение выражения (2q+1)^2-3q+2 q

Чтобы определить, при каких целых значениях \( q \) выражение

\[ \frac{(2q+1)^2 - 3q + 2}{q} \]

является целым числом, начнем с преобразования числителя.

Сначала разложим числитель:

\[ (2q+1)^2 = 4q^2 + 4q + 1 \]

Теперь подставим это в наше выражение:

\[ (2q+1)^2 - 3q + 2 = 4q^2 + 4q + 1 - 3q + 2 = 4q^2 + q + 3 \]

Теперь наше выражение выглядит так:

\[ \frac{4q^2 + q + 3}{q} \]

Мы можем разделить каждое слагаемое числителя на \( q \):

\[ 4q + 1 + \frac{3}{q} \]

Для того чтобы все выражение было целым числом, дробь \( \frac{3}{q} \) также должна быть целым числом. Это возможно, если \( q \) является делителем числа 3. Делителями числа 3 являются:

\[ 1, -1, 3, -3 \]

Теперь проверим эти значения:

1. Для \( q = 1 \): \[ 4 \cdot 1 + 1 + \frac{3}{1} = 4 + 1 + 3 = 8 \] Целое число.

2. Для \( q = -1 \): \[ 4 \cdot (-1) + 1 + \frac{3}{-1} = -4 + 1 - 3 = -6 \] Целое число.

3. Для \( q = 3 \): \[ 4 \cdot 3 + 1 + \frac{3}{3} = 12 + 1 + 1 = 14 \] Целое число.

4. Для \( q = -3 \): \[ 4 \cdot (-3) + 1 + \frac{3}{-3} = -12 + 1 - 1 = -12 \] Целое число.

Таким образом, целыми значениями \( q \), при которых итоговое выражение является целым числом, являются \( q = 1, -1, 3, -3 \).