Найти проекцию вектора 2p+q на вектор q если |p|=2 |q|=1 (p^q)= π/3
Чтобы найти проекцию вектора \(2\mathbf{p} + \mathbf{q}\) на вектор \(\mathbf{q}\), нам нужно использовать формулу проекции вектора. Проекция вектора \(\mathbf{a}\) на вектор \(\mathbf{b}\) определяется как:
\[ \text{proj}_{\mathbf{b}} \mathbf{a} = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{b}|^2} \mathbf{b} \]
Где \(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}\) — скалярное произведение векторов, а \(|\mathbf{b}|^2\) — квадрат длины вектора \(\mathbf{b}\).
В данном случае:
- \(\mathbf{a} = 2\mathbf{p} + \mathbf{q}\)
- \(\mathbf{b} = \mathbf{q}\)
Сначала найдём скалярное произведение \(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}\):
\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = (2\mathbf{p} + \mathbf{q}) \cdot \mathbf{q} = 2(\mathbf{p} \cdot \mathbf{q}) + \mathbf{q} \cdot \mathbf{q} \]
Мы знаем, что \(|\mathbf{q}| = 1\), поэтому \(\mathbf{q} \cdot \mathbf{q} = |\mathbf{q}|^2 = 1\).
Теперь определим \(\mathbf{p} \cdot \mathbf{q}\). Используем связь между скалярным произведением и углом между векторами:
\[ \mathbf{p} \cdot \mathbf{q} = |\mathbf{p}| |\mathbf{q}| \cos(\theta) \]
где \(|\mathbf{p}| = 2\), \(|\mathbf{q}| = 1\), и \(\theta = \frac{\pi}{3}\). Таким образом:
\[ \mathbf{p} \cdot \mathbf{q} = 2 \cdot 1 \cdot \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = 2 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = 1 \]
Теперь подставляем это обратно в выражение для скалярного произведения:
\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 2(1) + 1 = 2 + 1 = 3 \]
Теперь находим \(|\mathbf{q}|^2\):
\[ |\mathbf{q}|^2 = 1^2 = 1 \]
Теперь можем найти проекцию:
\[ \text{proj}_{\mathbf{q}} (2\mathbf{p} + \mathbf{q}) = \frac{3}{1} \mathbf{q} = 3\mathbf{q} \]
Таким образом, проекция вектора \(2\mathbf{p} + \mathbf{q}\) на вектор \(\mathbf{q}\) равна \(3\mathbf{q}\).
