В коробке лежит 9 белых и 5 черных шаров. Сколько способов извлечь из коробки: а) 5 белых шаров и 3 черных шара; b) 9 шаров, среди которых не менее 4 черных?

Чтобы решить обе задачи, мы воспользуемся комбинаторикой, в частности формулой комбинаций, которая определяется как:

\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n - k)!} \]

где \( n \) – общее количество элементов, \( k \) – количество выбираемых элементов, а \( ! \) – факториал числа.

а) Нам нужно найти количество способов извлечь 5 белых шаров и 3 черных шара.

1. Найдем, сколько способов выбрать 5 белых шаров из 9: \[ C(9, 5) = \frac{9!}{5!(9 - 5)!} = \frac{9!}{5!4!} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 126. \]

2. Теперь найдем, сколько способов выбрать 3 черных шара из 5: \[ C(5, 3) = \frac{5!}{3!(5 - 3)!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10. \]

3. Теперь умножим оба результата, чтобы получить общее количество способов: \[ 126 \times 10 = 1260. \]

Итак, количество способов извлечь 5 белых и 3 черных шара составляет 1260.

б) Нам нужно найти количество способов извлечь 9 шаров, среди которых не менее 4 черных.

Мы можем рассмотреть разные случаи с различным количеством черных шаров:

1. 4 черных и 5 белых:

   • Черные: \( C(5, 4) = 5 \)
   • Белые: \( C(9, 5) = 126 \)
   • Способы: \( 5 \times 126 = 630 \)

2. 5 черных и 4 белых:

   • Черные: \( C(5, 5) = 1 \)
   • Белые: \( C(9, 4) = 126 \)
   • Способы: \( 1 \times 126 = 126 \)

Теперь сложим все возможные способы: \[ 630 + 126 = 756. \]

Таким образом, количество способов извлечь 9 шаров, среди которых не менее 4 черных, составляет 756.