Найти частное производное первого порядка следующих функций z=x+y/x-y

Чтобы найти частные производные первого порядка функции \( z = \frac{x+y}{x-y} \), нужно использовать правила дифференцирования. Рассмотрим две частные производные: первую по \( x \) и вторую по \( y \).

1. Частная производная по \( x \):

Сначала запишем функцию: \[ z = \frac{x + y}{x - y} \]

Используем правило дроби для дифференцирования: \[ \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right) = \frac{u'v - uv'}{v^2} \]

где \( u = x + y \) и \( v = x - y \). Теперь найдем производные \( u' \) и \( v' \):

• \( u' = 1 \) (производная \( x + y \) по \( x \))
• \( v' = 1 \) (производная \( x - y \) по \( x \))

Теперь подставляем в формулу: \[ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{(1)(x - y) - (x + y)(1)}{(x - y)^2} \] Упрощаем: \[ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{x - y - x - y}{(x - y)^2} = \frac{-2y}{(x - y)^2} \]

2. Частная производная по \( y \):

Теперь найдем частную производную \( z \) по \( y \): \[ \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{(0)(x - y) - (x + y)(-1)}{(x - y)^2} \] Упрощаем: \[ \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{x + y}{(x - y)^2} \]

Таким образом, частные производные первого порядка функции \( z = \frac{x+y}{x-y} \) равны: \[ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{-2y}{(x - y)^2} \] \[ \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{x + y}{(x - y)^2} \]

Если потребуется дополнительная помощь или объяснения, не стесняйтесь спрашивать!