найти частное производное первого порядка функции Z=x/y
Чтобы найти частное производное первого порядка функции \( Z = \frac{x}{y} \) по переменным \( x \) и \( y \), будем действовать поэтапно.
Частная производная по \( x \): Чтобы найти частную производную \( Z \) по \( x \), мы рассматриваем \( y \) как константу. Формула для частной производной по \( x \) записывается так:
\[ \frac{\partial Z}{\partial x} = \frac{1}{y} \]
Это объясняется тем, что производная функции \( \frac{x}{y} \) по \( x \) равна \( \frac{1}{y} \), так как \( y \) не зависит от \( x \).
Частная производная по \( y \): Теперь найдем частную производную \( Z \) по \( y \), рассматривая \( x \) как константу. Формула для частной производной по \( y \) будет:
\[ \frac{\partial Z}{\partial y} = -\frac{x}{y^2} \]
В данном случае мы использовали правило о частной производной дроби: для функции вида \( \frac{u}{v} \) производная будет равна \( \frac{u'v - uv'}{v^2} \). Здесь \( u = x \) (производная \( u' = 0 \)) и \( v = y \) (производная \( v' = 1 \)), в результате чего получается:
\[ \frac{\partial Z}{\partial y} = \frac{0 \cdot y - x \cdot 1}{y^2} = -\frac{x}{y^2} \]
Итак, частные производные функции \( Z \) по \( x \) и \( y \) таковы:
- \( \frac{\partial Z}{\partial x} = \frac{1}{y} \)
- \( \frac{\partial Z}{\partial y} = -\frac{x}{y^2} \)
Если будут дополнительные вопросы или потребуются пояснения по этой теме, не стесняйтесь спрашивать!
