(x ^ 2 + 7x)/(x - 3) < 0
Чтобы решить неравенство \((x^2 + 7x)/(x - 3) < 0\), начнем с анализа его элементов.
Найдем нули числителя: Мы ищем, когда \(x^2 + 7x = 0\). Чтобы решить это уравнение, вынесем \(x\) за скобки: \[ x(x + 7) = 0 \] Таким образом, нули числителя — это \(x = 0\) и \(x = -7\).
Определим ноль знаменателя: Знаменатель \(x - 3 = 0\) даст нам \(x = 3\). Это значение нельзя использовать в нашем неравенстве, так как оно приведет к делению на ноль.
Определим интервалы: На числовой оси выделим ключевые точки: \(-7\), \(0\) и \(3\). Это делит ось на четыре интервала:
- \( (-\infty, -7) \)
- \( (-7, 0) \)
- \( (0, 3) \)
- \( (3, +\infty) \)
Тестируем интервалы: Теперь проверим знак выражения на каждом интервале:
- Интервал \((-∞, -7)\): Выберем \(x = -8\): \[ \frac{(-8)^2 + 7(-8)}{-8 - 3} = \frac{64 - 56}{-11} = \frac{8}{-11} < 0 \]
- Интервал \((-7, 0)\): Выберем \(x = -1\): \[ \frac{(-1)^2 + 7(-1)}{-1 - 3} = \frac{1 - 7}{-4} = \frac{-6}{-4} = \frac{3}{2} > 0 \]
- Интервал \((0, 3)\): Выберем \(x = 1\): \[ \frac{1^2 + 7(1)}{1 - 3} = \frac{1 + 7}{-2} = \frac{8}{-2} < 0 \]
- Интервал \((3, +\infty)\): Выберем \(x = 4\): \[ \frac{4^2 + 7(4)}{4 - 3} = \frac{16 + 28}{1} = 44 > 0 \]
Соберем результаты: Неравенство \((x^2 + 7x)/(x - 3) < 0\) выполняется на интервалах \((-∞, -7)\) и \((0, 3)\).
Запишем окончательный ответ: Решение неравенства: \[ x \in (-\infty, -7) \cup (0, 3) \]
Таким образом, заключение заключается в том, что значения \(x\), которые удовлетворяют нашему неравенству, находятся в указанных интервалах. Если у вас возникнут дополнительные вопросы или нужна помощь с другими темами, не стесняйтесь спрашивать!
