Задание 5. Даны точки A(- 1; - 1; 4) B(2; 1; - 3) и C(- 1; 3; 2) Найдите: а) (2 балла) 2 overline CB - overline CA 6) (2 балла) | overline CB |,| overline CA | в) (2 балла) overline CB * overline CA г) (2 балла) косинус угла между векторами overline CB и СА

Для решения задания, начнем с определения векторов \(\overline{CB}\) и \(\overline{CA}\).

1. Нахождение векторов:

   Вектор \(\overline{CB} = B - C\): \[ \overline{CB} = (2 - (-1), 1 - 3, -3 - 2) = (2 + 1, 1 - 3, -3 - 2) = (3, -2, -5) \]

   Вектор \(\overline{CA} = A - C\): \[ \overline{CA} = (-1 - (-1), -1 - 3, 4 - 2) = (-1 + 1, -1 - 3, 4 - 2) = (0, -4, 2) \]

Теперь перейдем к каждому пункту задания.

а) Найдем \(2 \overline{CB} - \overline{CA}\): \[ 2 \overline{CB} = 2(3, -2, -5) = (6, -4, -10) \] Теперь вычтем \(\overline{CA}\): \[ 2 \overline{CB} - \overline{CA} = (6, -4, -10) - (0, -4, 2) = (6 - 0, -4 - (-4), -10 - 2) = (6, 0, -12) \]

б) Найдем длины векторов \(|\overline{CB}|\) и \(|\overline{CA}|\): \[ |\overline{CB}| = \sqrt{3^2 + (-2)^2 + (-5)^2} = \sqrt{9 + 4 + 25} = \sqrt{38} \] \[ |\overline{CA}| = \sqrt{0^2 + (-4)^2 + 2^2} = \sqrt{0 + 16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \]

в) Найдем скалярное произведение векторов \(\overline{CB}\) и \(\overline{CA}\): \[ \overline{CB} \cdot \overline{CA} = (3, -2, -5) \cdot (0, -4, 2) = 3 \cdot 0 + (-2)(-4) + (-5)(2) = 0 + 8 - 10 = -2 \]

г) Теперь найдем косинус угла между векторами \(\overline{CB}\) и \(\overline{CA}\) с помощью формулы: \[ \cos \theta = \frac{\overline{CB} \cdot \overline{CA}}{|\overline{CB}| \cdot |\overline{CA}|} \] Подставим наши значения: \[ \cos \theta = \frac{-2}{\sqrt{38} \cdot 2\sqrt{5}} = \frac{-2}{2\sqrt{190}} = \frac{-1}{\sqrt{190}} \approx -0.072 \]

Таким образом, результаты по заданиям:

а) \(2 \overline{CB} - \overline{CA} = (6, 0, -12)\)

б) \(|\overline{CB}| = \sqrt{38}, |\overline{CA}| = 2\sqrt{5}\)

в) \(\overline{CB} \cdot \overline{CA} = -2\)

г) \(\cos \theta = \frac{-1}{\sqrt{190}}\)